Доведіть це: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Щоб довести

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Доведено

Це один з тих доказів, які легше працювати справа наліво. Починати з:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Множимо чисельник і знаменник вкладених дробів на "кон'югати" (напр. # 1pmsinx # на # 1 x sinx #). Ви отримуєте, наприклад, # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2 x.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx)) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Повторіть попередній крок для подальшого спрощення знаменника в вбудованих дробах:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Використовуйте ідентичності # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # і # 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2x # отримати:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Об'єднайте дроби і переверніть, щоб помножити відповіді:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (гріх ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Розгорніть квадратні терміни:

# = (скасування (1) + 2sinx + cancel (sin ^ 2x) - (скасування (1) -2sinx + cancel (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (скасування (1) + 2косц + скасувати (cos ^ 2x) - (скасувати (1) -2cosx + скасувати (cos ^ 2x))) #

# = (скасувати (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (скасувати (4) cosx) #

# = колір (блакитний) (загар ^ 5x) #