Що таке int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Відповідь:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Пояснення:

Це пояснення трохи довге, але я не міг знайти більш швидкий спосіб зробити це …

Інтеграл є лінійним додатком, тому можна вже розділити функцію під знаком інтеграла.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 перші терміни є поліноміальними функціями, тому їх легко інтегрувати. Я покажу вам, як це зробити # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # тому # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Ви робите те саме # x ^ 3 #, результатом є #255/4#.

Пошук #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # трохи довгий і складний. Спочатку помножте дробу на #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # а потім ви змінюєте змінну: скажімо #u = sqrt (x-1) #. Тому # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # і тепер ви повинні знайти # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Для того, щоб знайти його, необхідно розкласти часткову частку раціональної функції # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # с # a, b, c, d у RR #. Після обчислення ми дізнаємося про це # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, що означає # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # добре відомо, це так #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Нарешті, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Ви замінюєте # u # за оригінальним виразом # x # мати #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, який #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Отже, нарешті, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #