Отримати квадратичний поліном з наступними умовами ?? 1. сума нулів = 1/3, добуток нулів = 1/2

Відповідь:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Пояснення:

Квадратична формула #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Сума двох коренів:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Продукт двох коренів:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

Ми маємо # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Доказ:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Відповідь:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Пояснення:

Якщо ми маємо загальне квадратичне рівняння:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 якщо x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

І корінь рівняння ми позначаємо # alpha # і # beta #, тоді ми також маємо:

# (x-alpha) (x-бета) = 0 якщо x ^ 2 - (альфа + бета) x + альфа-бета = 0 #

Що дає нам добре вивчені властивості:

# {: ("сума коренів", = альфа + бета, = -b / a), ("продукт коренів", = альфа-бета, = c / a):} #

Таким чином ми маємо:

# {: (альфа + бета, = -b / a, = 1/3), (альфа-бета, = c / a, = 1/2):} #

Отже, шуканим рівнянням є:

# x ^ 2 - "(сума коренів)" x + "(добуток коренів)" = 0 #

тобто.

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

А (необов'язково), щоб видалити дробові коефіцієнти, ми помножимо на #6# даючи:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #