Що таке ортоцентр трикутника з кутами в (5, 2), (3, 7) і (4, 9) #?

Відповідь:

#(-29/9, 55/9)#

Пояснення:

Знайдіть ортоцентр трикутника з вершинами #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Я назваю трикутник # DeltaABC # с # A = (5,2) #, # B = (3,7) # і # C = (4,9) #

Ортоцентр є перетином висот трикутника.

Висота - це відрізок лінії, який проходить через вершину трикутника і перпендикулярний протилежній стороні.

Якщо ви знайдете перетин будь-яких двох з трьох висот, це ортоцентр, оскільки третя висота також перетинатиметься з іншими в цій точці.

Щоб знайти перетин двох висот, спочатку необхідно знайти рівняння двох ліній, що представляють висоти, а потім вирішити їх у системі рівнянь, щоб знайти їх перетин.

Спочатку знайдемо нахил відрізка між ними #A і B # використовуючи формулу нахилу # m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

Нахил лінії, перпендикулярний цьому відрізку, є протилежним знаком, зворотно-прямим #-5/2#, який #2/5#.

Використовуючи формулу нахилу точок # y-y_1 = m (x-x_1) # ми можемо знайти рівняння висоти з вершини # C # на бік # AB #.

# y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5колір (білий) (aaa) # або

# y = 2/5 x + 37/5 #

Щоб знайти рівняння другої висоти, знайдіть нахил однієї з інших сторін трикутника. Виберемо BC.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

Перпендикулярним нахилом є #-1/2#.

Знайти рівняння висоти з вершини # A # на бік # BC #, знову використовуємо формулу нахилу точки.

# y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Система рівнянь є

#color (білий) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Вирішення цієї системи дає #(-29/9, 55/9)#