Що таке int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Відповідь:

#= 1/4#

Пояснення:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1/4 ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Відповідь:

#1/4#

Пояснення:

Можна зробити це кількома способами, тут два з них. Перший - використовувати заміну:

#color (червоний) ("Метод 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Дозволяє #u = ln (x) означає du = (dx) / x #

Перетворення меж:

#u = ln (x) передбачає u: 0 rarr 1 #

Інтеграл стає:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Це простіший спосіб, але ви не завжди зможете зробити заміну. Альтернативою є інтеграція частинами.

#color (червоний) ("Метод 2") #

Використовуйте інтеграцію за частинами:

Для функцій #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) має на увазі u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) має на увазі v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Групування подібні терміни:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Ми працюємо з певним інтегралом, однак, застосовуючи обмеження і вилучаючи константу:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #