Нехай P будь-яка точка на конічному r = 12 / (3-sin x). Нехай F¹ та F² - точки (0, 0 °) і (3, 90 °) відповідно. Показати, що PF¹ та PF² = 9?

Відповідь:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Ми попросили показати # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #тобто # P # виносить еліпс з вогнищами # F_1 # і # F_2. Дивіться доказ нижче.

Пояснення:

Давайте виправимо те, що я здогадуюсь, це помилка і скажіть #P (r, theta) # задовольняє

#r = 12 / {3-sin theta} #

Діапазон синусів #pm 1 # так ми завершуємо # 4 з 6.

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

У прямокутних координатах, # P = (r cos theta, r sin theta) # і # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 тета + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 тета - 6 рад тета + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # оскільки ми вже знаємо # 4 з 6.

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #