Що таке ортоцентр трикутника з кутами в (9, 5), (3, 8) і (5, 6)?

Відповідь:

Етапи: (1) знайти схили 2 сторін, (2) знайти схили ліній, перпендикулярних цим сторонам, (3) знайти рівняння ліній з тими нахилами, які проходять через протилежні вершини, (4) знайти Точка, де ці лінії перетинаються, що є ортоцентром, в даному випадку #(6.67, 2.67)#.

Пояснення:

Щоб знайти ортоцентр трикутника, ми знаходимо схили (градієнти) двох його сторін, потім рівняння ліній, перпендикулярних цим сторонам.

Ми можемо використовувати ці схили плюс координати точки, протилежної відповідної сторони, щоб знайти рівняння ліній, перпендикулярних сторонам, які проходять через протилежний кут: їх називають «висотами» для сторін.

Де висоти для двох сторін перетинають ортоцентр (висота для третьої сторони також проходить через цю точку).

Давайте позначаємо наші точки, щоб полегшити їх перегляд:

Точка А = #(9, 5)#

Точка B = #(3, 8)#

Точка C = #(5, 6)#

Щоб знайти нахил, використовуйте формулу:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Ми не хочемо, щоб ці схили, але схили ліній перпендикулярні (під прямим кутом) до них. Лінія перпендикулярна лінії з ухилом # m # має нахил # -1 / m #, так що лінія перпендикулярна # AB # має нахил #-2# і лінія, перпендикулярна # BC # має нахил #1#.

Тепер ми можемо знайти рівняння висот точки C (протилежні AB) і точки A (протилежні BC) відповідно, замінивши координати цих точок на рівняння

# y = mx + c #

Для точки C висота:

# 6 = -2 (5) + c # що дає # c = 6 + 10 = 16 # тому #y = -2x + 16 #

Аналогічно, для точки A:

# 5 = 1 (9) + c # що дає # c = 5-9 = -4 # так що рівняння:

# y = x-4 #

Щоб знайти ортоцентр, нам просто потрібно знайти точку, де ці дві лінії перетинаються. Ми можемо прирівняти їх один до одного:

# -2x + 16 = x-4 #

Перестановка, # 3x = 20 до x ~ 6,67 #

Замінити на будь-яке рівняння, щоб знайти # y # значення, яке є #2.67#.

Тому ортоцентр є точкою #(6.67, 2.67)#.