Припустимо, a_n є монотонним і сходиться і b_n = (a_n) ^ 2. Чи обов'язково збігається b_n?

Припустимо, a_n є монотонним і сходиться і b_n = (a_n) ^ 2. Чи обов'язково збігається b_n?
Anonim

Відповідь:

Так.

Пояснення:

Дозволяє #l = lim_ (n -> + oo) a_n #.

# a_n # є монотонним # b_n # буде монотонним також і #lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2 #.

Це як з функціями: if # f # і # g # мають кінцевий межа на # a #, потім продукт # f.g # матиме обмеження на # a #.