Трикутник має кути A, B і C, розташовані в (3, 5), (2, 9) і (4, 8) відповідно. Які кінцеві точки та довжина висоти проходять через кут С?

Відповідь:

Кінцеві точки #(4,8)# і #(40/17, 129/17) # і довжини # 7 / sqrt {17} #.

Пояснення:

Я, мабуть, є експертом у відповідях на дворічні запитання. Давайте продовжимо.

Висота через С - перпендикуляр до AB через C.

Є кілька способів зробити це. Можна обчислити нахил АБ як #-4,# тоді нахил перпендикуляра дорівнює #1/4# і ми можемо знайти збіг перпендикуляр через С і лінію через А і В. Давайте спробуємо іншим шляхом.

Назвемо ногу перпендикулярно #F (x, y) #. Відомо, що точковий продукт вектора спрямованості CF з вектором напрямку AB дорівнює нулю, якщо вони перпендикулярні:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Це одне рівняння. Інше рівняння говорить #F (x, y) # знаходиться на лінії через A і B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Вони зустрічаються, коли

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Довжина CF від висоти становить

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Давайте перевіримо це, обчисливши область за допомогою формули шнурків, а потім вирішивши для висоти. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 г sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #