Радіуси двох концентричних кіл - 16 см і 10 см. AB - діаметр більшого кола. BD дотичний до меншого кола, доторкаючись до нього на D. Яка довжина AD?

Відповідь:

#bar (AD) = 23,5797 #

Пояснення:

Прийняття походження #(0,0)# як спільний центр Росії # C_i # і # C_e # і покликання # r_i = 10 # і # r_e = 16 # точка дотику # p_0 = (x_0, y_0) # знаходиться на перехресті #C_i nn C_0 # де

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

тут # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Рішення для #C_i nn C_0 # ми маємо

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Віднімаючи перше з другого рівняння

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # тому

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # і # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Нарешті шукається відстань

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

або

#bar (AD) = 23,5797 #

Пояснення:

Якщо #bar (BD) # дотична до # C_i # потім #hat (ODB) = pi / 2 # щоб ми могли застосовувати піфагор:

#bar (OD) ^ 2 + бар (DB) ^ 2 = бар (OB) ^ 2 # визначення # r_0 #

# r_0 ^ 2 = бар (OB) ^ 2-бар (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Точка # D # координати, які викликаються # (x_0, y_0) # повинні бути отримані перед обчисленням шуканої відстані #bar (AD) #

Є багато способів зробити це. Альтернативним методом є

# y_0 = бар (BD) sin (капелюх (OBD)) # але #sin (hat (OBD)) = бар (OD) / бар (OB) #

потім

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # і

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Згідно з наведеними даними, малюнок наведений вище.

O - загальний центр двох концентричних кіл

#AB -> "діаметр більшого кола" #

# AO = OB -> "радіус більшого кола" = 16 см #

#DO -> "радіус меншого кола" = 10 см #

#BD -> "дотична до меншого кола" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Дозволяє # / _ DOB = тета => / _ AOD = (180-тета) #

В #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Застосування косинусного права в Росії #Delta ADO # ми отримуємо

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-тета) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 см #