Що таке теорема ДеМойвера? + Приклад

Що таке теорема ДеМойвера? + Приклад
Anonim

Теорема ДеМойвера розширюється за формулою Ейлера:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Теорема ДеМойвр говорить, що:

  • # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
  • # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
  • # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
  • #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Приклад:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2ososxinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Однак, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2ososinx-sin ^ 2x #

Вирішення для реальних і уявних частин # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

У порівнянні з #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Це формула подвійного кута для # cos # і # sin #

Це дозволяє нам розширюватися #cos (nx) # або #sin (nx) # з точки зору повноважень Росії # sinx # і # cosx #

Теорему ДеМойвера можна взяти далі:

Дано # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -ізін (nx)) / (cos (nx) -ізін (nx)) = (cos (nx)) -ізін (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -ізін (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2iз (nx) #

Отже, якщо ви хочете висловити # sin ^ nx # з точки зору множинних кутів # sinx # і # cosx #:

# (2inf) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Розкрийте та просто введіть значення для # z ^ n + z ^ (- n) # і # z ^ n-z ^ (- n) # у разі необхідності.

Однак, якщо це залучено # cos ^ nx #, тоді ви б зробили # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # і виконайте подібні дії.