Що таке рівняння дотичної лінії f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 при x = 5?

Рівняння дотичної лінії має вигляд:

# y = колір (помаранчевий) (a) x + колір (фіолетовий) (b) #

де # a # - нахил цієї прямої лінії.

Щоб знайти нахил цієї дотичної лінії до #f (x) # в точці # x = 5 # ми повинні диференціювати #f (x) #

#f (x) # є часткою функції форми # (u (x)) / (v (x)) #

де #u (x) = x-3 # і #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (синій) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (червоний) (u '(x) = 1) #

#v (x) # є складовою функцією, тому ми повинні застосовувати правило ланцюга

дозволяє #g (x) = x ^ 2 # і #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (червоний) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x потім

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (червоний) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (червоний) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (синій) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

спрощення загального чинника # x-4 # між чисельником і знаменником

#color (синій) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Тому що дотична лінія проходить через точку # x = 5 # тому ми можемо знайти значення нахилу # a # шляхом заміни # x = 5 # в # f '(x) #

#color (помаранчевий) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (помаранчевий) (a = -3) #

З урахуванням абсцис точки дотику #color (коричневий) (x = 5) # дозволяє

дозволяє знайти його ординату # y = f (5) #

# color (коричневий) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (коричневий) (y = 2) #

Маючи координати точки дотику #color (коричневий) ((5; 2)) # і схил #color (помаранчевий) (a = -3) # дозволяє знайти #color (фіолетовий) (b) #

дозволяє підставити всі відомі значення в рівняння дотичної лінії для пошуку значення #color (фіолетовий) (b) #

# color (коричневий) (y) = колір (помаранчевий) (a) колір (коричневий) (x) + колір (фіолетовий) (b) #

# 2 = -3 (5) + колір (фіолетовий) (b) #

# 2 = -15 + колір (фіолетовий (б) #

# 17 = колір (фіолетовий) (b) #

отже, рівняння дотичної лінії в точці #color (коричневий) ((5; 2)) # є:

# y = -3x + 17 #