Дві цифри відрізняються на 3. Сума їх взаємних доходів становить сім десятих. Як ви знаходите цифри?

Відповідь:

Є два шляхи вирішення проблеми:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Пояснення:

Це типова проблема, яку можна вирішити за допомогою системи двох рівнянь з двома невідомими змінними.

Нехай перша невідома змінна буде # x # і другий # y #.

Різниця між ними є #3#, що призводить до рівняння:

(1) # x-y = 3 #

Їх взаємні довіри # 1 / x # і # 1 / y #, сума яких #7/10#, що призводить до рівняння:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Між іншим, існування взаємних обмежень вимагає обмежень:

#x! = 0 # і #y! = 0 #.

Щоб вирішити цю систему, давайте скористаємося методом заміщення.

З першого рівняння можна висловити # x # з точки зору # y # і замінити на друге рівняння.

З рівняння (1) можна вивести:

(3) #x = y + 3 #

Замініть його на рівняння (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

До речі, це потребує ще одного обмеження:

# y + 3! = 0 #, це #y! = - 3 #.

Використання загального знаменника # 10y (y + 3) # і враховуючи лише чисельники, перетворюємо рівняння (4) в

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Це квадратичне рівняння, яке можна переписати як:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # або

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Два рішення цього рівняння:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

або

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Отже, у нас є два рішення # y #:

# y_1 = 2 # і # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Відповідно, використовуйте # x = y + 3 #, ми робимо висновок, що існують два рішення для системи:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

В обох випадках # x # більше, ніж # y # від #3#, тому перша умова задачі задовольняється.

Давайте перевіримо другу умову:

(a) для рішення # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - перевірено

(b) для розчину # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - перевірено

Обидва рішення є правильними.