K - дійсне число, яке задовольняє наступне властивість: "для кожних 3 позитивних чисел, a, b, c; якщо a + b + c K, то abc K" Чи можна знайти найбільше значення K?

Відповідь:

# K = 3sqrt (3) #

Пояснення:

Якщо поставити:

# a = b = c = K / 3 #

Потім:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Тому:

# K ^ 2 <= 27 #

Тому:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Якщо у нас є # a + b + c <= 3sqrt (3) # тоді можна сказати, що справа # a = b = c = sqrt (3) # дає максимально можливе значення # abc #:

Наприклад, якщо виправити #c in (0, 3sqrt (3)) # і нехай #d = 3sqrt (3) -c #, потім:

# a + b = d #

Тому:

#abc = a (d-a) c #

#color (білий) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

# color (білий) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (білий) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

який має максимальне значення, коли # a = d / 2 # і # b = d / 2 #, коли # a = b #.

Аналогічно, якщо ми виправляємо # b #, тоді ми знаходимо максимум, коли # a = c #.

Звідси і максимальне значення # abc # досягається тоді, коли # a = b = c #.

Тому # K = 3sqrt (3) # - максимально можлива величина # a + b + c # такий, що #abc <= K #