Два кута рівнобедреного трикутника знаходяться в (7, 5) і (3, 6). Якщо площа трикутника дорівнює 6, які довжини сторін трикутника?

Відповідь:

Є кілька способів зробити це; шлях з найменшими кроками пояснюється нижче.

Питання неоднозначне, про те, які дві сторони мають однакову довжину. У цьому поясненні ми припустимо, що обидві сторони однакової довжини є тими, що ще не знайдено.

Пояснення:

Одна довжина сторони ми можемо зрозуміти тільки з координат, які ми отримали.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Тоді ми можемо використовувати формулу для площі трикутника в термінах його довжин сторін, щоб з'ясувати # b # і # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

де # s = (a + b + c) / 2 # (називається напівпериметр)

З # a = sqrt (17) # відомо, і ми припускаємо # b = c #, ми маємо

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (червоний) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Підставивши це у формулу області вище, а також # A = 6 # і # a = sqrt17 #, ми отримуємо

# 6 = sqrt ((колір (червоний) (sqrt (17) / 2 + b)) (колір (червоний) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (колір (червоний) (sqrt (17)) 2 + b) -b) (колір (червоний) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Наше рішення є # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Примітка 1:

Можна мати трикутник з двома сторонами довжини #sqrt (17) # і область # A = 6 # (тобто мати # a = b = sqrt (17) # замість # b = c #). Це призведе до іншого рішення.

Примітка 2:

Ми могли б також вирішити це питання, знайшовши координати 3-ї точки. Це стосувалося б:

а) знаходження довжини відомої сторони # a #

б) знаходження нахилу # m # між двома заданими точками

в) знаходження середини # (x_1, y_1) # між двома заданими точками

г) знаходження "висоти" # h # цього трикутника # A = 1/2 ah #

e) знаходження нахилу висоти за допомогою #m_h = (- 1) / m #

f) використовуючи обидві формули нахилу # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # і формула висоти # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # вирішити для однієї з координат 3-ї точки # (x_2, y_2) #

г) після об'єднання цих двох рівнянь спрощуються виходи

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) підключення відомих значень для # h #, # m_h #, і # x_1 # отримати # x_2 #

i) за допомогою одного з двох рівнянь у (f) знайти # y_2 #

j) використовуючи формулу відстані, щоб знайти залишилися (однакові) довжини сторони

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Ви можете зрозуміти, чому перший метод простіше.