Супергерой запускає себе з вершини будівлі зі швидкістю 7,3 м / с під кутом 25 над горизонталлю. Якщо будівля висотою 17 м, то наскільки далеко він буде подорожувати по горизонталі, перш ніж вийти на землю? Яка його остаточна швидкість?

Діаграма цього буде виглядати так:

Я хотів би перерахувати те, що я знаю. Ми візьмемо негативний, як вниз і залишилися позитивними.

#h = "17 м" #

#vecv_i = "7,3 м / с" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 м / с" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

ЧАСТИНА ПЕРША: ВСТУП

Що я хотів би зробити, це знайти, де вершина це визначити # Deltavecy #, а потім працювати у сценарії вільного падіння. Зверніть увагу, що на вершині, #vecv_f = 0 # тому що людина змінює напрямок в силу переважання гравітації при зменшенні вертикальної складової швидкості через нуль і в негативу.

Одне рівняння пов'язане # vecv_i #, # vecv_f #, і # vecg # є:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

де ми говоримо #vecv_ (fy) = 0 # на вершині.

З #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # і #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # і це рівняння насправді просить нас використовувати #g <0 #.

Для частини 1:

#color (синій) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = колір (синій) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

де #vecv_ (fy) = 0 # - кінцева швидкість для частини 1.

Нагадаємо, що вертикальна швидкість має a # sintheta # компонент (намалюйте правий трикутник і отримайте #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # відносини).

#color (зелений) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Тепер, коли ми маємо # Deltavecy # і ми це знаємо # vecv_y # змінив напрямок, можна припустити вільне падіння відбувається.

The загальна висота восени #color (зелений) (h + Deltavecy) #. Це те, що ми можемо використовувати для частини 2.

я отримав # Deltavecy # бути # "0.485 м" # і #h + Deltavecy # бути #color (синій) ("17.485 м") #.

Частина друга: вільне падіння

Ми знову можемо лікувати # y # напрямок незалежно від # x # напрямок, оскільки #veca_x = 0 #.

На вершині згадайте про це #color (зелений) (vecv_ (iy) = 0) #, яка є початковою швидкістю для частини 2і була кінцевою швидкістю частково 1. Тепер ми можемо використовувати інше 2D кінематичне рівняння. Пам'ятайте, що загальна висота не є # Deltavecy # тут!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "вільне падіння" ^ 2) + скасувати (v_ (iy) t_ "вільне падіння") ^ (0) #

Тепер ми можемо просто вирішити за час, який потрібно, щоб потрапити в землю з вершини.

#color (зелений) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = колір (зелений) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2 theta) / (2g)) / g)) #

і, звичайно, час, очевидно, ніколи не є негативним, тому ми можемо ігнорувати негативну відповідь.

… І ми потрапляємо туди.

ЧАСТИНА ТРЕТІЙ: РІШЕННЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЇ ДИСТАНЦІЇ

Ми можемо повторно використовувати ті ж кінематичні рівняння, що й раніше досліджені. Одна з речей, про яку ми йдемо, - це # Deltax #, який:

#color (синій) (Deltax) = скасувати (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

І, як і раніше, використовуйте відношення тригерів для отримання # x # компонент (# costheta #).

# = колір (синій) (vecv_icostheta * t_ "загальний")> 0 #

де #t_ "загальний" # НЕ те, що ми отримали частково 2, але буде включати час #t_ "стрибок" # перехід від будівлі до вершини польоту і #t_ "freefall" # що ми придбали раніше.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "стрибок" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "стрибок" #

С #Deltay ~~ "0.485 м" #. Коли ми вирішуватимемо це за допомогою квадратичного рівняння, це дасть:

#t_ "стрибок" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~ ~ "0.3145 s" #

Включіть час, отриманий для вершини, на землю, і ви повинні отримати #color (синій) ("2.20 с") # на весь рейс. Назвемо це #t_ "загальний" #.

#t_ "загальний" = t_ "стрибок" + t_ "вільне падіння" #

Використання #t_ "загальний" #, Я отримав #color (синій) (Deltavecx ~~ "14,58 м") #.

ЧЕТВЕРТА ЧАСТИНА: РОЗВ'ЯЗАННЯ ДЛЯ КІНЦЕВОЇ СКОРОСТИ

Тепер це вимагатиме трохи більше мислення. Ми знаємо це #h = "17 м" # і у нас є # Deltax #. Тому можна визначити кут відносно горизонтальної поверхні.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (синій) (тета '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Зверніть увагу, як ми використовували #h + Deltavecy # оскільки ми фактично стрибали вгору перед падінням, і ми не стрибали прямо вперед. Отже, кут # theta # передбачає # Deltax # і загальна висота, і ми візьмемо величини загальної висоти для цього.

І, нарешті, з тих пір # vecv_x # не змінювався весь цей час (ми ігноруємо опір повітря тут):

#color (зелений) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= колір (зелений) (vecv_icostheta')> 0 #

де # vecv_i # - початкова швидкість від частини 1. Тепер нам просто потрібно знати, що #vecv_ (fy) # частково 2. Поверніться до початку, щоб побачити:

#vecv_ (fy) ^ 2 = скасувати (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Отже, це стає:

#color (зелений) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Пам'ятайте, що ми визначилися вниз як негативний, тому # h + Deltay <0 #.

Гаразд, ми ТІЛЬКИ там. Нас просять # vecv_f #. Тому ми закінчуємо, використовуючи Теорема Піфагора.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (синій) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Загалом, #color (синій) (| vecv_f | ~~ "19.66 м / с") #.

І це було б все! Перевірте свою відповідь і скажіть мені, якщо вона спрацювала.

Ось вел. проекції, # v = 7.3ms ^ -1 #

кут. проекції,# alpha = 25 ^ 0 # над горизонтальною

Вертикальний вертикальний компонент vel проекції,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1

Будівля висотою 17 м, чисте вертикальне переміщення досягає землі # h = -17m # як супергерой спроектував себе вгору (позитивне тут)

Якщо час польоту, тобто час досягнення землі, приймається рівним T

потім за допомогою формули #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # ми можемо мати

# => - 17 = 3.07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

розділяючи обидві сторони на 4.9 ми отримуємо

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0.63 + sqrt ((- 0.63) ^ 2-4 * 1 * (- 3.47)) / 2 ~~ 2.20s #

(негативний час відхилено)

Таким чином, горизонтальне переміщення героя до досягнення землі буде

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3коз (25 ^ 0) ~~ 14.56м #

Розрахунок швидкості в момент досягнення землі

Вертикальна складова швидкість в момент досягнення землі

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Знову горизонтальна складова швидкості в момент досягнення землі

# => v_x = ucosalpha #

Отже, результуюча швидкість в момент досягнення землі

# v_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + u ^ 2cos ^ 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (7.3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "м / с" #

Напрям # v_r # з горизонтальною# = tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "вниз по горизонталі" #

Це корисно?