Як ви знайдете межу sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) як х підходи -оо?

Відповідь:

Зробіть трохи факторинг, щоб отримати #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Пояснення:

Коли ми маємо справу з межами на нескінченності, завжди корисно враховувати # x #або # x ^ 2 #, або будь-яку іншу силу # x # спрощує проблему. Для цього, давайте фактор з # x ^ 2 # з чисельника і # x # із знаменника:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Ось де вона починає ставати цікавою. Для #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # є позитивним; проте для #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # є негативним. У математичних термінах:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # для #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # для #x <0 #

Оскільки ми маємо справу з обмеженням на негативну нескінченність #sqrt (x ^ 2) # стає # -x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Тепер ми можемо побачити красу цього методу: у нас є a # 9 / x ^ 2 # і # 6 / x #, обидва з яких підуть #0# як # x # переходить до негативної нескінченності:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #