Як ви знайдете межу (arctan (x)) / (5x), коли x наближається до 0?

Відповідь:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Пояснення:

Щоб знайти цю межу, зауважте, що і чисельник, і знаменник переходять до #0# як # x # підходи #0#. Це означає, що ми отримаємо невизначену форму, таким чином, можна застосувати правило L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Застосовуючи правило L'Hospital, ми беремо похідну чисельника і знаменника, даючи нам

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Ми також можемо перевірити це, графіку функції, щоб отримати уявлення, що # x # підходи.

Графік #arctan x / (5x) #:

графік {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Відповідь:

Більш тривалий підхід з використанням тригерів пояснюється нижче.

Пояснення:

У випадку, якщо ви не задоволені правилом L'Hopital, або ще не піддаєтеся цьому, інший підхід до вирішення проблеми передбачає використання функції арктангенс.

Нагадаємо, що якщо # tantheta = x #, потім # theta = arctanx #; це по суті означає, що арктангенс є зворотним дотичній. Використовуючи цю інформацію, ми можемо побудувати трикутник, де # tantheta = x # і # theta = arctanx #:

З діаграми ясно, що # tantheta = x / 1 = x #. З # tantheta = sintheta / costheta #, ми можемо висловити це як:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Використовуючи це плюс те, що # theta = arctanx #, ми можемо вносити заміни в ліміт:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (тета-> arctan0) тета / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (тета-> 0) тета / (5sintheta / costheta) #

Це еквівалентно:

#lim_ (тета-> 0) 1/5 * lim_ (тета-> 0) тета * lim_ (тета-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (тета-> 0) тета / sintheta * lim_ (тета-> 0) costheta #

Ми знаємо це #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; тому #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # або #lim_ (x-> 0) тета / sintheta = 1 #. І так # cos0 = 1 #, ліміт оцінюється так:

# 1/5 * lim_ (тета-> 0) тета / sintheta * lim_ (тета-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#