Для яких значень x f (x) = (- 2x) / (x-1) увігнута або опукла?

Відповідь:

Вивчайте знак 2-ї похідної.

Для #x <1 # функція увігнута.

Для #x> 1 # функція опукла.

Пояснення:

Ви повинні вивчити кривизну, знайшовши другу похідну.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

Перша похідна:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

Друга похідна:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Тепер ознака #f '' (x) # необхідно вивчити. Знаменник позитивний, коли:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (x-1) ^ 3 <0 #

# (x-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Для #x <1 # функція увігнута.

Для #x> 1 # функція опукла.

Примітка: Точка # x = 1 # було виключено через функцію #f (x) # не може бути визначено для # x = 1 #, так як денуміратор стане 0.

Ось графік, який можна побачити своїми очима:

графік {(- 2x) / (x-1) -14.08, 17.95, -7.36, 8.66}