Що таке корінь куба (sqrt3 -i)?

Я почав би з перетворення числа в тригонометричну форму:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

Корінь куба цього числа можна записати як:

# z ^ (1/3) #

Тепер з урахуванням цього я використовую формулу для n-го ступеня комплексного числа в тригонометричній формі:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # даючи:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Котрий у прямокутній формі: # 4.2-0.7i #

Я не можу повністю погодитися з відповіддю Гіо, тому що він неповний, а також (формально) неправильний.

Формальна помилка полягає у використанні Формула Де Мойвера з нецілими експонентами. Формулу Де Мойвера можна застосовувати тільки до цілочисельних експонентів. Детальніше про це на сторінці Вікіпедії

Там ви знайдете часткове розширення формули, щоб розібратися # n #-го коріння (воно включає додатковий параметр # k #): якщо # z = r (cos theta + i sin theta) #, потім

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((тета + 2 k pi) / n) + i sin ((тета + 2 k pi) / n)) # де # k = 0, …, n-1 #.

Один (і в якомусь сенсі) дуже фундаментальна властивість комплексних чисел є такою # n #коріння мають … # n # коріння (розчини)! Параметр # k # (що варіюється від #0# і # n-1 #, тому # n # цінності) дозволяє підсумувати їх в єдину формулу.

Таким чином, коріння куба мають три рішення, а знаходження лише одного з них недостатньо: це просто "#1/3# рішення ».

Нижче я напишу свою пропозицію рішення. Коментарі вітаються!

Як правильно запропонував Гіо, першим кроком є вираження # z = sqrt {3} -i # у тригонометричній формі #r (cos theta + i sin theta) #. При роботі з корінням тригонометрична форма є (майже) завжди корисним інструментом (разом з експоненційною). Ви отримуєте:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Тому # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Тепер потрібно обчислити коріння. За наведеною вище формулою ми отримуємо:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((тета + 2 k pi) / 3) + i sin ((тета + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

де # k = 0, 1, 2 #. Отже, існують три різних значення # k # (#0#, #1# і #2#), які народжують три різних коріння # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # і # z_2 # є три рішення.

Геометрична інтерпретація формули для # n # Коріння дуже корисно малювати рішення в комплексній площині. Крім того, сюжет дуже добре вказує на властивості формули.

Перш за все, можна помітити, що всі рішення мають однакову відстань # r ^ {1 / n} # (у нашому прикладі #2^{1/3}#) від походження. Тому всі вони лежать на окружності радіусу # r ^ {1 / n} #. Тепер ми повинні відзначити де розмістити їх на цій окружності. Ми можемо переписати аргументи синуса і косинуса наступним чином:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (тета / n + (2pi) / n k) + i sin (тета / n + (2pi) / n k)) #

"Перший" корені відповідає # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (тета / n) + i sin (тета / n)) #

Всі інші коріння можуть бути отримані з цього додавання кута # (2pi) / n # рекурсивно до кута # theta / n # відносно першого кореня # z_0 #. Тому ми рухаємося # z_0 # по колу обертанням # (2pi) / n # радіани (# (360 °) / n #). Тому точки розташовані на вершинах регулярного # n #-гон. Враховуючи одну з них, ми можемо знайти інших.

У нашому випадку:

де синій кут # theta / n = -pi / 18 # і пурпурний # (2pi) / n = 2/3 пі #.