Коло має центр, який падає на лінію y = 7 / 2x +3 і проходить через (1, 2) і (8, 1). Що таке рівняння кола?

Відповідь:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Пояснення:

Точка А #(1,2)# і B #(8,1)# має бути однаковою відстанню (один радіус) від центру кола

Це лежить на лінії точок (L), які є рівновіддаленими від A і B

формула для розрахунку відстані (d) між двома точками (від pythagorus) дорівнює # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

замінити в тому, що ми знаємо для точки А і довільної точки на L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

замінити в тому, що ми знаємо для точки B і довільної точки на L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Тому

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Розгорніть дужки

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Спростити

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

центральна точка лежить на лінії #y = 7x - 30 # (безліч точок екві-віддалених від A і B)

і на лінії #y = 7x / 2 + 3 # (надано)

вирішують, де ці дві лінії перетинають, щоб знайти центр кола

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

замінити #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Центр кола знаходиться на #(66/7, 36)#

квадратичний радіус кола тепер може бути обчислений як

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Загальна формула для кола або радіуса # r # є

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # з центром на h, k

Тепер ми знаємо # h #, # k # і # r ^ 2 # і може замінити їх на загальне рівняння для кола

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

розгорніть дужки

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

і спростити

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #