Будь ласка, поясніть, це лінійне перетворення чи ні?

Відповідь:

Дивись нижче

Пояснення:

Трансформація #T: V до W # називається лінійним, якщо він має два властивості:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # для кожного # v_1, v_2 у V #
• #T (cv) = cT (v) # для кожного #v у V # і кожен скаляр # c #

Зверніть увагу, що друге властивість приймає це # V # вбудований з двома операціями суми і скалярного множення. У нашому випадку сума є сумою між многочленами, а множення - множенням на реальні числа (я припускаю).

При виведенні полінома ви знижуєте його ступінь на #1#, так що якщо ви отримаєте поліном ступеня #4# двічі, ви отримаєте поліном ступеня #2#. Зауважимо, що, коли ми говоримо про множину всіх чотирьох ступенів поліноміальних, ми фактично маємо на увазі безліч усіх поліномів ступеня максимум чотири. Фактично, загальний поліноміал ступеня четвертий

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Якщо ви хочете поліном два ступеня # 3 + 6x-5x ^ 2 #Наприклад, ви просто вибираєте

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Якщо це буде сказано, давайте визначимо поліноміальний простір ступеня # n # с # P_n #і визначте наш оператор #T: P_4 такий, що #T (f (x)) = f '' (x) #

Доведемо перше властивість: припустимо, що у нас є поліноми

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

і

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Це означає що # p_1 + p_2 # дорівнює

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # є другою похідною цього полінома, так воно і є

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Я застосував двічі правило потужності для виведення: друга похідна від # x ^ n # є #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Тепер давайте обчислимо #T (p_1) #другий похідний # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Аналогічно #T (p_2) #другий похідний # p_2 #, є

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Якщо ви підсумуєте ці вирази, ви можете побачити, що ми маємо

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Друге властивість показано подібним чином: дано поліном

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

ми маємо, для будь-якого реального числа # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

його друга похідна є таким чином

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

що знову ж таки, як і обчислювальні #T (p) #, а потім помножте все на # c #тобто #T (cp) = cT (p) #