Доведіть, що криві x = y ^ 2 і xy = k розрізані під прямим кутом, якщо 8k ^ 2 = 1?

Відповідь:

#-1#

Пояснення:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

дві криві

#x = y ^ 2 #

і

#x = sqrt (1/8) / y або x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

для кривої #x = y ^ 2 #, похідне по відношенню до # y # є # 2y #.

для кривої #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, похідне по відношенню до # y # є # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

точка, на якій зустрічаються дві криві, - це коли # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

з #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

точка, на якій зустрічаються криві, - це # (1/2, sqrt (1/2)) #

коли #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

градієнт дотичної до кривої #x = y ^ 2 # є # 2sqrt (1/2) або 2 / (sqrt2) #.

коли #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

градієнт дотичної до кривої #xy = sqrt (1/8) # є # -2sqrt (1/8) або -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1

Ми прагнемо до стану # k # такі, що криві # x = y ^ 2 # і # xy = k # "вирізати під прямим кутом". Математично це означає, що криві повинні бути ортогональними, що в свою чергу означає, що на всіх точках дотичні до кривих будь-який Дана точка перпендикулярна.

Якщо розглядати сімейство кривих для різних значень # k # ми отримуємо:

Відразу відзначимо, що шукаємо єдину точку, де дотична перпендикулярна, тому в цілому криві не ортогональні у всіх точках.

Спочатку давайте знайдемо одномісний координувати, # P #, точки перетину, що є одночасним рішенням:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Підставляючи рівняння A в B, отримуємо:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = корінь (3) (k) #

І тому ми встановлюємо координати перетину:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Нам також потрібні градієнти дотичних на цій координаті. Для першої кривої:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Отже, градієнт дотичної, # m_1 #, до першої кривої в # P # є:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Аналогічно для другої кривої:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Отже, градієнт дотичної, # m_2 #, до другої кривої при # P # є:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

= -k ^ (- 1/3) #

Якщо ці дві дотичні перпендикулярні, то ми вимагаємо:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Веде до заданого результату:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

І з цим значенням # k #