М'яч падає прямо з висоти 12 футів. Після удару по землі він відскакує на 1/3 відстані, яку вона впала. Як далеко буде відправлятися м'яч (як вгору, так і вниз), перш ніж він прийде в спокій?

Відповідь:

М'яч пройде 24 метри.

Пояснення:

Ця проблема вимагає розгляду нескінченних рядів. Розглянемо фактичну поведінку м'яча:

Спочатку м'яч падає на 12 футів.

Далі м'яч відскакує #12/3 = 4# ноги.

М'яч тоді падає 4 фути.

На кожному наступному відскіку, м'яч подорожує

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ноги, де # n # - кількість відскоків

Таким чином, якщо уявити, що м'яч починається з #n = 0 #, тоді наша відповідь може бути отримана з геометричної серії:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Зверніть увагу на #-12# термін корекції, це тому, що якщо ми починаємо з # n = 0 # ми підраховуємо 0-й відскок 12 футів вгору і 12 футів вниз. Насправді м'яч пересуває лише половину того, що починається в повітрі.

Ми можемо спростити нашу суму для:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Це просто проста геометрична серія, яка випливає з правила:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Так довго, як # | r | <1 #

Це дає просте рішення нашої проблеми:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# ноги.