Два кута трикутника мають кути (3 pi) / 4 і pi / 6. Якщо одна сторона трикутника має довжину 9, то який найдовший периметр трикутника?

Відповідь:

Найдовший Можливий периметр # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3) / / (sqrt 3 - 1) #

Пояснення:

З урахуванням цих двох кутів ми можемо знайти 3-й кут, використовуючи поняття, що сума всіх трьох кутів у трикутнику # 180 ^ @ або pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11pi) / 12 #

#x = pi / 12 #

Отже, третій кут # pi / 12 #

Тепер, скажімо

# / _ A = (3pi) / 4, / _B = pi / 6 та / _C = pi / 12 #

Використовуючи правило Sine, ми маємо, # (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

де, a, b і c - довжина сторін, протилежних # / _ A, / _B і / _C # відповідно.

Використовуючи вищенаведений набір рівнянь, ми маємо наступне:

#a = a, b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a, c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

# або a = a, b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a, c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a #

#rArr a = a, b = a / (sqrt2), c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

Тепер, щоб знайти найдовший периметр трикутника

#P = a + b + c #

Припускаючи, #a = 9 #, ми маємо

#a = 9, b = 9 / sqrt2 і c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

# або P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

# або P ~~ 18.66 #

Припускаючи, #b = 9 #, ми маємо

#a = 9sqrt2, b = 9 і c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

# або P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

# або P ~~ 26.39 #

Припускаючи, #c = 9 #, ми маємо

#a = 18 / (sqrt3 - 1), b = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) і c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

# або P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

# або P ~~ 50.98 #

Тому найдовший периметр даного трикутника # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3) / / (sqrt 3 - 1) #