Оцініть невизначений інтеграл: qsqrt (10x-x ^ 2) dx?

Відповідь:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Пояснення:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Завершіть площу, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Замінити # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Замінити # u = 5sin (v) # і # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25см ^ 2 (v)) "" dv #

Спростити, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Уточнити, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Виймайте константу, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Застосувати подвійні формули, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Виймайте константу, # 25 / 2in "" 1 + cos (2v) "" dv #

Інтегрувати, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Замініть назад # v = arcsin (u / 5) # і # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + відмінити (1 / 2sin) (скасувати (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

Спростити, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Уточнити, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, де # c # є константою інтеграції.

Tadaa: D

Відповідь:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2carcsin ((x-5) / 5) + c #

Пояснення:

Що #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Зауважимо, що область інтегрованої функції полягає в тому, коли внутрішня квадратична позитивна, тобто. #x у 0, 10 #

Цей вираз можна інтегрувати, використовуючи заміни. Хоча можливий шлях інтеграції не відразу представляє себе, якщо ми конкуруємо з квадратом, то тригонометричне заміщення може бути здійснено:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Який, ми помічаємо, знаходиться в класичній тригонометричній формі заміщення, тобто квадраті числа мінус квадрат лінійної # x # функції.

По-перше, щоб позбутися від лінійних, ми дозволяємо #u = x-5 #, що дає # du = dx #, так що ми можемо переписати вищезгаданий інтеграл як:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Тепер для другої заміни, нехай #u = 5sintheta #, який змінює інтеграл на:

#int sqrt (25 - 25 с ^ 2 тета) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (ми можемо ігнорувати дужки абсолютного значення)

Звичайно, # dx # не допомагає, тому ми диференціюємо рівняння підстановки, щоб отримати: #du = 5costheta d theta #, так що інтеграл стає:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Тепер ми можемо використовувати формулу подвійного кута, щоб зробити інтеграцію # cos ^ 2 тета # простіше:

#cos (2 тета) = 2кос ^ 2тета -1

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Таким чином, інтеграл стає:

# 25/2 int cos (2тета) + 1 д-та #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 тета) + тета) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (використовуючи формулу подвійного кута)

Тепер, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Отже, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- - x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

І, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2carcsin ((x-5) / 5) + c #