Що таке інтеграл int tan ^ 5 (x)?

Відповідь:

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -сек ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Пояснення:

#int tan ^ (5) (x) dx #

Знаючи те, що # tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, ми можемо переписати його як

#int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx #, що дає

#int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx #

Перший інтеграл:

Дозволяє # u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Другий інтеграл:

Дозволяє #u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx #

Тому

#int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx #

Також зверніть увагу, що #int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C #, таким чином даючи нам

# 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C #

Підставляючи # u # назад у вираз дає нам наш кінцевий результат

# 1 / 4sec ^ (4) (x) -призначити (2) * (1 / скасувати (2)) sec ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Таким чином

#int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -сек ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C #

Що таке інтеграл int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша велика проблема в цьому інтегралі - корінь, тому ми хочемо її позбутися. Ми можемо зробити це шляхом введення заміни u = sqrt (2x-1). Похідна тоді (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Отже, ми ділимо через (і запам'ятовуємо, розділяючи на зворотне те ж саме, що множимо тільки на знаменник), щоб інтегруватися по відношенню до u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) скасування (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Тепер все, що нам потрібно зробити, це виразити x ^ 2 в термінах u (оскільки ви не можете ін

Що таке інтеграл int tan ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Розв'язування тригранних антидеревативних засобів зазвичай передбачає порушення цілісності вниз, щоб застосувати піфагорейські ідентичності, і їх використання заміни u. Це саме те, що ми зробимо тут. Почніть з перезапису inttan ^ 4xdx як inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Тепер ми можемо застосувати піфагорейську ідентичність tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x, або tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx Розподіл tan ^ 2x : колір (білий) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Застосовуючи правило суми: колір (білий) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Ми розглянемо ці інтег

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) від [0, pi / 4]?

Pi / 4 Зверніть увагу, що з другої піфагорейської ідентичності 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Це означає, що частка дорівнює 1 і це залишає нам досить простий інтеграл int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4