Що таке інтеграл int tan ^ 4x dx?

Відповідь:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Пояснення:

Розв'язання тригерних антидеревативних засобів зазвичай передбачає порушення цілісності, щоб застосувати піфагорейські ідентичності, і їх використання a # u #-заміщення. Це саме те, що ми зробимо тут.

Почніть з перезапису # inttan ^ 4xdx # як # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Тепер ми можемо застосувати піфагорійську ідентичність # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #або # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2 x-1) tan ^ 2xdx #

Розподіл # tan ^ 2x #:

#color (білий) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Застосовуючи правило суми:

#color (білий) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Ми розглянемо ці інтеграли один за одним.

Перший інтеграл

Це вирішується за допомогою a # u #-заміщення:

Дозволяє # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Застосування заміни, #color (білий) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (білий) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Оскільки # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Другий інтеграл

Так як ми насправді не знаємо, що # inttan ^ 2xdx # просто переглянувши його, спробуйте застосувати # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # ідентичність знову:

# inttan ^ 2xdx = int (сек ^ 2х-1) dx #

Використовуючи правило суми, інтеграл зводиться до:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

Перший з них, # intsec ^ 2xdx #, це просто # tanx + C #. Другий - так званий "ідеальний інтеграл" - просто # x + C #. Поклавши все це разом, можна сказати:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

І тому # C + C # це просто інша довільна постійна, ми можемо об'єднати її в загальну константу # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Об'єднуючи два результати, ми маємо:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Знову, тому що # C + C # є константою, ми можемо об'єднати їх в одну # C #.

Що таке інтеграл int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Наша велика проблема в цьому інтегралі - корінь, тому ми хочемо її позбутися. Ми можемо зробити це шляхом введення заміни u = sqrt (2x-1). Похідна тоді (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Отже, ми ділимо через (і запам'ятовуємо, розділяючи на зворотне те ж саме, що множимо тільки на знаменник), щоб інтегруватися по відношенню до u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) скасування (sqrt (2x-1)) du = int t ^ 2-1 Тепер все, що нам потрібно зробити, це виразити x ^ 2 в термінах u (оскільки ви не можете ін

Що таке інтеграл int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -сек ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Знаючи той факт, що tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, ми можемо переписати його як int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, що дає int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Перший інтеграл: Нехай u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Другий інтеграл: Нехай u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Тому int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx Зауважимо, що int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, що дає нам 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Підстановка u назад у вираз дає нам кінцев

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) від [0, pi / 4]?

Pi / 4 Зверніть увагу, що з другої піфагорейської ідентичності 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Це означає, що частка дорівнює 1 і це залишає нам досить простий інтеграл int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4