Що таке lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Відповідь:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Пояснення:

Дозволяє # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# lny = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

Відповідь:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = оо #. Див. Розділ пояснення нижче.

Пояснення:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Зауважте, що: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Тепер, як # xrarroo #Перше співвідношення зростає без обмеження, а другий - до #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) #

# = oo #

Подальше пояснення

Ось міркування, які призвели до вирішення вище.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # має початкову форму # (oo * 0) / oo #.

Це невизначена форма, але ми не можемо застосувати правило l'Hospital до цієї форми.

Ми могли б переписати його як # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # отримати форму # oo / oo # до якого ми могли б застосувати l'Hospital. Однак я не хочу особливо брати похідну цього знаменника.

Нагадаємо, що #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Так що #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Це те, що мотивує перезапис, використаний вище.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Як # x # зростає без обмежень, # e ^ x # йде до нескінченності набагато швидше, ніж # x ^ 3 # (швидше, ніж будь-яка сила # x #).

Тому, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # вибухає ще швидше.

Якщо у вас немає цього факту, скористайтеся правилом l'Hospital

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = оо #

Чому lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = оо?

"Див. Пояснення" "Помножити на" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Тоді ви отримаєте" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(оскільки" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(тому що" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo}

Що рівно? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Зауважте, що:" колір (червоний) (cos ^ 2 (x) -сін ^ 2 (x) = cos (2x)) "Отже, у нас є" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Тепер застосуємо правило de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Що таке lim_ (x-> 0) e ^ x * sin (1 / x)?

Не існує. Оскільки х наближається до 0, sin (1 / x) приймає значення -1 і 1, нескінченно багато разів. Значення не може наближатися до єдиного граничного числа, а e ^ xsin (1 / x) визначається в інтервалі (-1,1). Ось графік, який допомагає зрозуміти цей графік (e / xsin (1 / x) [- 4.164, 4.604, -1.91, 2.473]}