Трикутник має кути в (4, 1), (2, 4) і (0, 2) #. Які кінцеві точки перпендикулярних бісектрис трикутника?

Відповідь:

Легкими кінцевими точками є середні точки, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# і більш складними є місця, де бісектриси зустрічаються з іншими сторонами, в тому числі #(8/3,4/3).#

Пояснення:

Під перпендикулярними бісектрисами трикутника, мабуть, мається на увазі перпендикулярна бісектриса кожної сторони трикутника. Отже, для кожного трикутника є три перпендикулярні бісектриси.

Кожна перпендикулярна бісектриса визначається, щоб перетинати одну сторону в її середині. Він також перетинатиме одну з інших сторін. Ми припустимо, що ці два зустрічі є кінцевими точками.

Середні точки є

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Це, мабуть, гарне місце для вивчення параметричних зображень для ліній і відрізків ліній. # t # - це параметр, який може варіюватись по чисел (для рядка) або від #0# до #1# для сегмента лінії.

Давайте позначати пункти #A (4,1) #, #B (2,4) # і #C (0,2) #. Три сторони:

# AB: (x, y) = (1-t) A + B #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Як # t # йде від нуля до одного, ми простежуємо кожну сторону.

Давайте розберемося. # D # є серединою # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Вектор спрямованості від C до B є # B-C = (2,2) #. Для перпендикуляра ми перевертаємо два коефіцієнти (тут немає ефекту, тому що вони обидва #2#) і звести нанівець. Отже, параметричне рівняння для перпендикуляра

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Різна лінія, інший параметр.) Ми бачимо, де це відповідає кожній з сторін.

#BC: (2-2т, 4-2т) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # перевіряє, що перпендикулярна бісектриса зустрічає БЦ у своїй середині.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Віднімання, # t = 2-3 = - 1 #

Це за межами діапазону, тому перпендикулярна бісектриса БК не потрапляє в бік АВ.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Віднімання, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Це дає іншій кінцевій точці, як

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Це стає довгим, тому я залишу вам інші дві кінцеві точки.