Що таке рівняння дотичної лінії до f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x при x = sqrtpi?

Відповідь:

Рівняння приблизно:

#y = 3.34x - 0.27 #

Пояснення:

Для початку потрібно визначити #f '(x) #, так що ми знаємо, що нахил #f (x) # є у будь-якому місці, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

використовуючи правило продукту:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Це стандартні похідні:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Тому наша похідна стає:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Вставлення даних # x # значення, нахил у #sqrt (pi) # є:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (пі)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Це нахил нашої лінії в точці # x = sqrt (pi) #. Потім ми можемо визначити перехоплення y, встановивши:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Це дає нам не спрощене рівняння для нашої лінії:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (пі)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (пі)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))))) x + b #

Вирішуючи для b, ми в кінцевому підсумку з досадно складною формулою:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) гріх sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Таким чином, наша лінія закінчується:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (пі) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Якщо ми насправді обчислимо, на що прирівнюються ці дратівливо великі коефіцієнти, ми в кінцевому підсумку маємо приблизну лінію

#y = 3.34x - 0.27 #