Доказ того, що N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) - ціле число?

Відповідь:

Розглянемо # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Це має один реальний корінь, який є #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Пояснення:

Розглянемо рівняння:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Використовуючи метод Кардано для його вирішення, нехай #t = u + v #

Потім:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (ув-7) (u + v) -90 = 0 #

Для усунення терміну в # (u + v) #, додайте обмеження # uv = 7 #

Потім:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Помножте через # u ^ 3 # і переставити, щоб отримати квадратичний дюйм # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

за квадратичною формулою, це має коріння:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (білий) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (білий) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (білий) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Оскільки це Real і виведення було симетричним в Росії # u # і # v #, ми можемо використовувати один з цих коренів для # u ^ 3 # а інший для # v ^ 3 # вивести, що Реальний нуль Росії # t ^ 3-21t-90 # є:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + корінь (3) (45-29sqrt (2)) #

але ми знаходимо:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Отже, реальний нуль Росії # t ^ 3-21t-90 # є #6#

Тому # 6 = корінь (3) (45 + 29sqrt (2)) + корінь (3) (45-29sqrt (2)) #

#color (білий) () #

Примітка

Щоб знайти кубічне рівняння, я використовував метод Кардано назад.

Відповідь:

#N = 6 #

Пояснення:

Виготовлення #x = 45 + 29 sqrt (2) # і #y = 45-29 sqrt (2) # потім

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

тому

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

або виклику #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # ми маємо

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

с # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # і #z = 6 # є коренем так

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #