Яке рівняння лінії, яка є нормальною до полярної кривої f (тета) = - 5тетасин ((3ета) / 2-pi / 3) + tan ((тета) / 2-pi / 3) у тета = pi?

Відповідь:

Лінія є #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Пояснення:

Цей бегемот рівняння виводиться через досить тривалий процес. Спочатку я опишу кроки, за якими відбудеться виведення, а потім виконайте ці кроки.

Наведена функція в полярних координатах, #f (theta) #. Ми можемо взяти похідну, #f '(theta) #, але для того, щоб насправді знайти лінію в декартових координатах, нам знадобиться # dy / dx #.

Ми можемо знайти # dy / dx # за допомогою наступного рівняння:

# dy / dx = (f '(тета) sin (тета) + f (тета) cos (тета)) / (f' (тета) cos (тета) - f (тета) sin (тета)) #

Потім ми підключимо цей нахил до стандартної декартовій формі:

#y = mx + b #

І вставте декартові конвертовані полярні координати нашої точки інтересу:

#x = f (тета) cos (тета) #

#y = f (тета) sin (тета) #

Декілька речей, які повинні бути відразу очевидними, і врятує нам час по лінії. Ми беремо лінію, дотичну до точки #theta = pi #. Це означає що #sin (theta) = 0 # тому…

1) Наше рівняння для # dy / dx # насправді буде:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Наші рівняння для декартових координат нашої точки стануть:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Починаючи, власне, і вирішуючи проблему, ми знаходимо перший порядок бізнесу #f '(theta) #. Це не важко, тільки два простих похідних з правилом ланцюга застосовуються до двох:

#f '(тета) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 сек ^ 2 (тета / 2 - pi / 3) #

Тепер ми хочемо знати #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

І #f '(пі) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 сек ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Завдяки цьому ми готові визначити наш схил:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Ми можемо включити це в як # m # в #y = mx + b #. Нагадаємо, що раніше ми це визначили # y = 0 # і #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Ми можемо поєднати наші раніше визначені # m # з нашими знову визначеними # b # дати рівняння для рядка:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #