Два кута трикутника мають кути (3 pi) / 8 і pi / 6. Якщо одна сторона трикутника має довжину 1, то який найдовший периметр трикутника?

Відповідь:

Найбільш довгий периметр приблизно #4.8307#.

Пояснення:

По-перше, ми знаходимо один залишився кут, використовуючи той факт, що кути трикутника складають до # pi #:

Для #triangle ABC #:

Дозволяє #angle A = (3pi) / 8 #

Дозволяє #angle B = pi / 6 #

Потім

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

# color (білий) (кут C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

# color (білий) (кут C) = (11pi) / 24 #

Для будь-якого трикутника найкоротша сторона завжди знаходиться навпроти найменшого кута. (Те ж саме стосується найдовшого боку і найбільшого кута.)

Щоб максимізувати периметр, одна відома довжина сторони повинна бути найменшою. Отже, з #angle B # найменша (на # pi / 6 #), ми ставимо # b = 1 #.

Тепер ми можемо використовувати синусовий закон для обчислення решти двох сторін:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b разів (sinA) / (sinB) #

#color (білий) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (білий) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

Подібна формула використовується для показу #c ~~ 1.9829 #.

Додавання цих трьох значень (з # a #, # b #, і # c #) разом дасть найдовший периметр трикутника, як описано нижче:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (білий) P ~~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

#color (білий) P = 4,8307 #

(Оскільки це питання геометрії, вас можуть попросити надати відповідь у точній формі, з радикалами. Це можливо, але трохи виснажливо заради відповіді тут, тому я дав свою відповідь як приблизне десяткове значення.)

Два кути трикутника мають кути pi / 3 і pi / 2. Якщо одна сторона трикутника має довжину 2, то який найдовший периметр трикутника?

= 4.732 Очевидно, що це прямокутний трикутник з одним з двох заданих кутів pi / 2 і pi / 3, а третій кут pi - (pi / 2 + pi / 3) = pi - (5pi) / 6 = pi / 6 Одна сторона = гіпотен використання = 2, тому інші сторони = 2sin (pi / 6) і 2cos (pi / 6) Отже, периметр трикутника = 2 + 2sin (pi / 6) + 2cos (pi / 6) = 2 + (2x0,5) + (2x0,866) = 2 + 1 + 1,732 = 4,732

Два кути трикутника мають кути pi / 3 і pi / 2. Якщо одна сторона трикутника має довжину 7, то який найдовший периметр трикутника?

Найдовший периметр - 33.124. Оскільки два кута pi / 2 і pi / 3, третій кут pi-pi / 2-pi / 3 = pi / 6. Це найменший кут, і тому сторона навпаки - найменша. Оскільки ми повинні знайти найдовший периметр, одна сторона якої дорівнює 7, ця сторона повинна бути протилежною найменшому куту, тобто pi / 6. Нехай інші дві сторони будуть a та b. Отже, використовуючи синус формули 7 / sin (pi / 6) = a / sin (pi / 2) = b / sin (pi / 3) або 7 / (1/2) = a / 1 = b / (sqrt3 / 2) або 14 = a = 2b / sqrt3 Отже a = 14 і b = 14xxsqrt3 / 2 = 7xx1.732 = 12.124 Отже, найдовший периметр становить 7 + 14 + 12.124 = 33.124

Два кути трикутника мають кути pi / 6 і pi / 2. Якщо одна сторона трикутника має довжину 6, то який найдовший периметр трикутника?

= 14.2 Очевидно, що це прямокутний трикутник з одним з двох заданих кутів pi / 2 і pi / 6, а третій кут pi - (pi / 2 + pi / 6) = pi - (2pi) / 3 = pi / 3 Одна сторона = гіпотен використання = 6, тому інші сторони = 6sin (pi / 3) і 6cos (pi / 3) Отже, периметр трикутника = 6 + 6sin (pi / 3) + 6cos (pi / 3) = 6 + (6x0,866) + (6x0,5) = 6 + 5,2 + 3) = 14,2