Два кута трикутника мають кути (2 pi) / 3 і (pi) / 4. Якщо одна сторона трикутника має довжину 4, то який найдовший периметр трикутника?

Відповідь:

# P_max = 28,31 # одиниць

Пояснення:

Проблема дає вам два з трьох кутів у довільному трикутнику. Так як сума кутів у трикутнику повинна додати до 180 градусів, або # pi # радіани, ми можемо знайти третій кут:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Давайте намалюємо трикутник:

Проблема стверджує, що одна з сторін трикутника має довжину 4, але вона не вказує, на якій стороні. Однак, у будь-якому даному трикутнику, це правда найменший сторона буде протилежною від найменшого кута.

Якщо ми хочемо максимізувати периметр, ми повинні зробити сторону з довжиною 4 стороною, протилежною від найменшого кута. Оскільки інші дві сторони будуть більше 4, це гарантує, що ми максимізуватимемо периметр. Отже, вихідний трикутник стає:

Нарешті, ми можемо використовувати закон синусів знайти довжини двох інших сторін:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Підключаючись, ми отримуємо:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Вирішення для x і y отримуємо:

# x = 10.93 # і # y = 13.38 #

Тому максимальний периметр:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28,31 #

Примітка: Оскільки проблема не визначає одиниці довжини на трикутнику, просто використовуйте "одиниці".