Два кута рівнобедреного трикутника знаходяться в (1, 3) і (9, 4). Якщо площа трикутника дорівнює 64, які довжини сторін трикутника?

Відповідь:

Довжина сторін трикутника:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Пояснення:

Відстань між двома точками # (x_1, y_1) # і # (x_2, y_2) # задається формулою відстані:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Так відстань між ними # (x_1, y_1) = (1, 3) # і # (x_2, y_2) = (9, 4) # є:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

яка є ірраціональним числом трохи більшим, ніж #8#.

Якщо одна з інших сторін трикутника мала однакову довжину, то максимально можлива площа трикутника буде:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Так що це не може бути так. Натомість інші дві сторони повинні бути однакової довжини.

Дано трикутник зі сторонами # a = sqrt (65), b = t, c = t #, ми можемо використовувати формулу Герона, щоб знайти її область.

Формула чапелів говорить нам, що площа трикутника з боками #a, b, c # і напівпериметр #s = 1/2 (a + b + c) # дає:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

У нашому випадку напівпериметр:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

і формула Герона говорить нам, що:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (білий) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Помножте обидва кінці на #2# отримати:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Площа з обох сторін, щоб отримати:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Помножте обидві сторони на #4/65# отримати:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Транспортуйте і додайте #65/4# до обох сторін отримати:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Візьміть позитивний квадратний корінь з обох сторін, щоб отримати:

#t = sqrt (266369/260) #

Так довжини сторін трикутника:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Альтернативний метод

Замість того, щоб використовувати формулу Герона, ми можемо обґрунтувати наступне:

Враховуючи, що основа рівнобедреного трикутника має довжину:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Район є # 64 = 1/2 "бази" xx "висота" #

Отже, висота трикутника:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Це довжина перпендикулярної бісектриси трикутника, яка проходить через середину бази.

Тому інші дві сторони утворюють гіпотенуси двох прямокутних трикутників з ногами #sqrt (65) / 2 # і # (128sqrt (65)) / 65 #

Отже, Піфагором кожна з цих сторін має довжину:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #