Який діапазон квадратичної функції?

Відповідь:

Діапазон #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # є:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "якщо" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "якщо" a <0):} #

Пояснення:

З урахуванням квадратичної функції:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # с #a! = 0 #

Ми можемо заповнити квадрат, щоб знайти:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Для реальних значень # x # квадратний термін # (x + b / (2a)) ^ 2 # не є негативним, приймаючи його мінімальне значення #0# коли #x = -b / (2a) #.

Потім:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Якщо #a> 0 # тоді це мінімальне можливе значення #f (x) # і діапазон #f (x) # є # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Якщо #a <0 # тоді це максимально можлива величина #f (x) # і діапазон #f (x) # є # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Інший спосіб дивитися на це - пускати #y = f (x) # і подивіться, чи є рішення # x # з точки зору # y #.

Дано:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Відняти # y # з обох сторін знайти:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Дискримінант # Delta # цього квадратичного рівняння:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Щоб мати реальні рішення, ми вимагаємо #Delta> = 0 # і так:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Додати # 4ac-b ^ 2 # обидві сторони знайти:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Якщо #a> 0 # тоді ми можемо просто розділити обидві сторони на # 4a # отримати:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Якщо #a <0 # тоді ми можемо розділити обидві сторони на # 4a # і змінити нерівність, щоб отримати:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #