Обчислення

Y = (- 1/4) x + 1 Колір (червоний) (нахил) дотичної лінії до заданої функції 2-sqrtx - колір (червоний) (f '(4)) Розрахуємо колір (червоний) ( f '(4)) f (x) = 2-sqrtx f' (x) = 0-1 / (2sqrtx) = - 1 / (2sqrtx) колір (червоний) (f '(4)) = - 1 / ( 2sqrt4) = - 1 / (2 * 2) = колір (червоний) (- 1/4) Оскільки ця лінія дотична до кривої при (колір (синій) (4,0)), він проходить через цю точку: Рівняння лінії: y-колір (синій) 0 = колір (червоний) (- 1/4) (x-color (синій) 4) y = (- 1/4) x + 1 Докладніше »

Sin (x) ^ tanh (x) * (1-tanh ^ 2 (x)) * ln (sin (x)) + "" "sin (x) ^ (tanh (x) -1) * tanh (x) * cos (x) "Похідна" f (x) ^ g (x) "є складною формулою для запам'ятовування." "Якщо ви не можете запам'ятати її добре, ви можете вивести її так:" x ^ y = exp (y * ln (x)) => f (x) ^ g (x) = exp (g (x) * ln (f (x))) => (f (x) ^ g (x)) ' = exp (g (x) * ln (f (x))) (g (x) * ln (f (x))) "(правило ланцюга + похідна exp (x))" = exp (g (x ) * ln (f (x))) (g '(x) * ln (f (x)) + g (x) (f' (x)) / f (x)) = f (x) ^ g ( x) * g '(x) * ln (f (x)) + f (x) ^ (g (x Докладніше »

Y = r / k-Be ^ (- kx) Ми маємо: dy / dx = r-ky, який є першим порядком сепарабельного диференціального рівняння. Ми можемо переставити 1 / (r-ky) dy / dx = 1 Отже, ми можемо "відокремити змінні", щоб отримати: int 1 / (r-ky) dy = int dx Інтеграція дає нам: -1 / k ln (r-ky) = x + C:. ln (r-ky) = -kx -kC:. ln (r-ky) = -kx + ln A (шляхом запису lnA == kC):. ln (r-ky) -lnA = -kx:. ln ((r-ky) / A) = -kx:. (r-ky) / A = e ^ (- kx):. r-ky = Ae ^ (- kx):. ky = r-Ae ^ (- kx):. y = r / k-Be ^ (- kx) Докладніше »

Так що рішення цієї нерівності робить його істинним x в (0.1) розглянемо f (x) = e ^ x-lnx-e / x, маємо f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 стверджують, що f '(x)> 0 для всіх дійсних x і роблять висновок про те, що f (1) = 0 f (1) = e-ln1-e = 0 враховують межу f як x йде на 0 lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo Іншими словами, показуючи f '(x)> 0, ви показуєте, що функція строго зростає, і якщо f (1) = 0, це означає, що f (x) <0 для x <1, оскільки функція завжди зростає з визначення lnx lnx визначається для кожного x> 0 з визначення e ^ xe ^ x визначено для кожного Докладніше »

Dy / dx = - (2sin (xy) + 2xcos (xy)) / (1-2xcos (xy)) Ми можемо переставити та спростити, щоб отримати: -2xsin (xy) = yd / dx [y] = d / dx [ -2xsin (xy)] d / dx [y] = d / dx [-2x] sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xd / dx [sin (xy)] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) d / dx [xy] d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx) [x] -d / dx [y]) d / dx [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (d / dx [x] -d / dx [y]) Використовуючи правило chqain, отримуємо, що d / dx = dy / dx * d / dy dy / dxd / dy [y] = - 2sin (xy) -2xcos (xy) (1-dy / dxd / dy [y]) dy / dx = -2sin (xy) ) -2xcos (xy) (1-dy / dx) dy / dx = -2sin Докладніше »

"Див. Пояснення" f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h "Тут ми маємо" f (x) = ln (x) => f' (x) = lim_ {h-> 0} (ln (x + h) - ln (x)) / h = lim_ {h-> 0} ln ((x + h) / x) / h = lim_ {h -> 0} ln (1 + h / x) / h = y => e ^ y = lim_ {h-> 0} (1 + h / x) ^ (1 / h) = e ^ (1 / x) "(Межа Ейлера)" => y = 1 / x => f '(x) = 1 / x Докладніше »

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = 16y найкраще записано як (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad трикутник, який показує, що це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку, яке має характеристичне рівняння r ^ 2 8 r + 16 = 0, яке можна вирішити наступним чином (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 це повторюваний корінь, так що загальне рішення у формі y = (Ax + B) e ^ (4x) це неосцилірующее і моделює якусь експоненційну поведінку, яка дійсно залежить від величини Можна припустити, що це може бути спроба моделювати взаємодію населення або хижака / здобич, але я не можу сказати нічого осо Докладніше »

I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C Ми хочемо вирішити I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx Давайте спробуємо більш загальну проблему I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx Де шукаємо рішення I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C Хитрість полягає в тому, щоб використовувати інтеграцію за частинами двічі intudv = uv-intvdu Нехай u = e ^ (ax) і dv = cos (bx) dx Тоді du = ae ^ (ax) dx і v = 1 / bsin (bx) I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) ) dx Застосування інтеграції по частинах до решти інтегралу I_2 = a / binte ^ (ax) sin (b Докладніше »

Dy / dx = (cos (7x)) ^ x * (ln (cos (7x)) - 7x (tan (7x))) Це неприємно. y = (cos (7x)) ^ x Почнемо, взявши натуральний логарифм будь-якої сторони, і довести показник x вниз, щоб бути коефіцієнтом правої сторони: rArr lny = xln (cos (7x)) Тепер диференціюйте кожну сторону по відношенню до x, використовуючи правило продукту на правій стороні. Пам'ятайте правило неявного диференціювання: d / dx (f (y)) = f '(y) * dy / dx: .1 / y * dy / dx = d / dx (x) * ln (cos (7x)) + d / dx (ln (cos (7x))) * x Використовуючи правило ланцюга для функцій натурального логарифма - d / dx (ln (f (x))) = (f '(x)) / f (x) - ми можемо Докладніше »