Тригонометрія І Алгебра

Див. Пояснення нижче. Межа "на нескінченності" функції: число, яке f (x) (або y) наближається до того, як x зростає без прив'язки. Межа на нескінченності - це межа, оскільки незалежна змінна зростає без обмеження. Визначення: lim_ (xrarroo) f (x) = L тоді і тільки тоді, коли: для будь-якого позитивного епсилона існує таке число m, що: якщо x> M, то abs (f (x) -L) < епсилон. Наприклад, коли x зростає без обмеження, 1 / x стає ближче і ближче до 0. Приклад 2: при збільшенні x без кордону, 7 / x наближається до 0 як xrarroo (при x зростає без прив'язки), (3x-2) / (5x + 1) rarr 3/5 Чому? underbrace ((3x Докладніше »

Точки на деякі функції, де відбувається локальний максимум або мінімальне значення. Для безперервної функції по всьому домену ці точки існують там, де нахил функції = 0 (тобто перша похідна дорівнює 0). Розглянемо деяку неперервну функцію f (x) Нахил f (x) дорівнює нулю, де f '(x) = 0 в якійсь точці (a, f (a)). Тоді f (a) буде локальним екстремальним значенням (максимум або мінімум) f (x) N.B. Абсолютні екстремуми є підмножиною локальних екстремумів. Це точки, де f (a) - крайна величина f (x) по всій своїй області. Докладніше »

Корінь єдності - це комплексне число, яке при піднятті до деякого позитивного цілого числа повернеться 1. Це будь-яке комплексне число z, яке задовольняє наступне рівняння: z ^ n = 1, де n в NN, що означає, що n є природним. номер. Природне число - це будь-яке натуральне число: (n = 1, 2, 3, ...). Це іноді називають числом підрахунку, а позначення - NN. Для будь-якого n може бути декілька значень z, які задовольняють це рівняння, і ці значення складають коріння одиниці для n. При n = 1 Коріння одиниці: 1 При n = 2 Коріння одиниці: -1, 1 При n = 3 Коріння одиниці = 1, (1 + sqrt (3) i) / 2, (1 - sqrt (3) i) / 2 Коли n = 4 Ко Докладніше »

Напевно, однією з найпоширеніших помилок є забуття поставити певні дужки на деякі функції. Наприклад, якщо я збираюся граф y = 5 ^ (2x), як зазначено в проблемі, деякі студенти можуть поставити в калькулятор 5 ^ 2x. Однак, калькулятор говорить, що це 5 ^ 2х, а не як дано. Тому важливо вкласти круглі дужки і написати 5 ^ (2x). Для логістичних функцій одна помилка може включати використання природного журналу проти неправильного входу, наприклад: y = ln (2x), тобто e ^ y = 2x; у порівнянні з y = log (2x), що дорівнює 10 ^ y = 2x. Перетворення експонентів на логістичні функції також можуть бути складними. Якщо б я мав графік Докладніше »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 Функція є безперервною, інтуїтивно, якщо її можна намалювати (тобто графічно) ) без підняття олівця (або ручки) з паперу. Тобто наближення до будь-якої точки x, в області функції зліва, тобто х-епсилон, як епсилон -> 0, дає те ж значення, що й наближається до тієї ж точки з правого, тобто х + епсилон, як ε Це стосується кожної з перерахованих функцій. Це не було б для функції d (x), яка визначається як: d (x) = 1, якщо x> = 0, і d (x) = -1, якщо x <0. Тобто, існує розрив при 0, як наближається до 0 зліва, один має значення -1, але, наближаючись справа, має Докладніше »

Ось три важливі приклади ... Геометричні ряди Якщо abs (r) <1, то сума геометричного ряду a_n = r ^ n a_0 є конвергентною: sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Експоненціальна функція Ряд, що визначає e ^ x, сходяться для будь-якого значення x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) Щоб довести це для будь-якого заданого x, Нехай N є цілим числом, більшим за abs (x). Тоді сума_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) Збігається, оскільки вона є кінцевою сумою, а сума_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Збігається з абсолютної величини Коефіцієнт послідовних термінів менше, ніж abs (x) / (N + 1) <1. Базельська задача Базельська за Докладніше »

Кінцева поведінка найбільш основних функцій полягає в наступному: Константи Константа - це функція, яка приймає одне і те ж значення для кожного x, тому якщо f (x) = c для кожного x, то, звичайно ж, і границя при x наближається до pm інверсія все одно буде c. Поліноми Нечетний ступінь: поліноми непарної ступеня "поважають" нескінченність, до якої наближається x. Отже, якщо f (x) є поліномом з непарною ступенем, то ви маєте, що lim_ {x-infty} f (x) = - infty і lim_ {x of + infty} f (x) = + t ; Навіть ступінь: поліноми рівного ступеня мають тенденцію до + інверсії незалежно від того, який напрямок х наближається, т Докладніше »

Приклад 1: Підвищення до рівномірної потужності Вирішіть x = root (4) (5x ^ 2-4). Підвищення обох сторін до 4 ^ (th) дає x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Це вимагає, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Факторинг дає (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Отже, нам потрібно (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0. Рішенням останнього рівняння є {-1, 1, -2, 2}. Перевірка цих виявляє, що -1 і -2 не є рішеннями вихідного рівняння. Нагадаємо, що корінь (4) x означає неотрицальний 4-й корінь.) Приклад 2 Помноження на нуль Якщо ви вирішите (x + 3) / x = 5 / x шляхом перехресного множення, ви отримаєте x ^ 2 + 3x = 5x що призводить до x ^ 2-2x = 0. Схоже, що набір рішень становить Докладніше »

Щоб скласти функцію, потрібно ввести одну функцію в іншу, щоб сформувати іншу функцію. Ось кілька прикладів. Приклад 1: Якщо f (x) = 2x + 5 і g (x) = 4x - 1, визначте f (g (x)) Це означатиме введення g (x) для x усередині f (x). f (g (x)) = 2 (4x-1) + 5 = 8x- 2 + 5 = 8x + 3 Приклад 2: Якщо f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x і g (x) = sqrt ( 3x), визначаємо g (f (x)) і вказуємо домен Покласти f (x) на g (x). g (f (x)) = sqrt (3 (3x ^ 2 + 12x + 12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt (( 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) = | 3x + 6 | Домен f (x) x у RR. Область g (x) - x> 0. Отже, область g (f (x)) дорівнює x> 0. Приклад Докладніше »

Приклад 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} Вертикальні асимптоти: x = -2 і x = 3 Горизонтальна асимптота: y = 1 Нахил асимптоти: немає Приклад 2: g ( x) = e ^ x Вертикальна асимптота: Немає Горизонтальна Асимптота: y = 0 Нахил Асимптота: Немає Приклад 3: h (x) = x + 1 / x Вертикальна асимптота: x = 0 Горизонтальна асимптота: Немає Нахил Асимптота: y = x I сподіваюся, що це було корисно. Докладніше »

Ось кілька прикладів ... Ось приклад анімації довгого поділу x ^ 3 + x ^ 2-x-1 на x-1 (що ділиться точно). Напишіть дивіденд під лінією та дільником ліворуч. Кожен записується в порядку спадання потужностей x. Якщо будь-яка потужність x відсутня, то включіть її з коефіцієнтом 0. Наприклад, якщо ви ділилися на x ^ 2-1, ви могли б виразити дільник як x ^ 2 + 0x-1. Оберіть перший термін фактора, щоб викликати відповідність провідних термінів. У нашому прикладі ми виберемо x ^ 2, оскільки (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 відповідає провідному x ^ 3 терміну дивіденду. Напишіть продукт цього терміну і дільник нижче дивіденду і віднім Докладніше »

Це пряме скалярне множення, а потім віднімання матриць. Скалярне множення матриць просто означає, що кожен елемент в матриці множиться на константу. Отже, кожен елемент в A буде помножений на 2. Тоді віднімання матриці (і додавання) виконується елементом шляхом віднімання елементів. Отже, у цьому випадку 2 (-8) = -16. Потім ви віднімете 1 у верхньому правому куті B, щоб дати -16 - 1 = -17. Отже, a = 17 Докладніше »

Деякі типи діапазонів: стрільба, піч + піч, діапазон зброї, (як дієслово) для переміщення, домашній на діапазоні і т.д. Ні, але серйозно, діапазон або набір y-значень функції або різниця між найнижчими і найвищими значеннями набору чисел. Для рівняння y = 3x-2 діапазон є всіма дійсними числами, оскільки деяке значення x може бути введено для отримання будь-якого дійсного числа y (y = RR). Для рівняння y = sqrt (x-3) діапазон є всіма дійсними числами, більшими або рівними 3 (y = RR> = 3). Для рівняння y = (x-1) / (x ^ 2-1) діапазон є всіма дійсними числами, що не дорівнюють 1 і -1 (y = RR! = + - 1). Для набору чисел {3, Докладніше »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 З трикутником Паскаля легко знайти кожне біноміальне розширення: кожен член цього трикутника є результатом суми двох членів на Топ лінія. (приклад у червоному) 1 1. 1 колір (синій) (1. 2. 1) 1. колір (червоний) 3. колір (червоний) 3. 1 1. 4. колір (червоний) 6. 4. 1 ... Більше, кожна лінія має інформацію про одне біноміальне розширення: 1-я лінія, для потужності 0 2-й, для потужності 1-й 3-й, для потужності 2 ... Наприклад: (a + b) ) ^ 2 ми будемо використовувати 3-у лінію у синьому кольорі після цього розширення: (a + b) ^ 2 = колір (синій) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + колір (синій) 2 * a Докладніше »

Він не змінюється або не завжди визначається. Твір двох квадратних матриць (квадратна матриця - матриця, яка має однакове число рядків і стовпців) AB не завжди дорівнює BA. Спробуйте з A = ((0,1), (0,0)) і B = ((0,0), (0,1)). Для того, щоб обчислити добуток двох прямокутних матриць C і D, якщо ви хочете, щоб CD мав стільки ж стовпців, скільки число рядків D. Якщо ви хочете, щоб DC, це така ж проблема з числом стовпців D і число рядків C. Докладніше »

X ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) Нам потрібно записати їх у термінах кожного з факторів. x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) в х = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 Введення в x = 1: 1 ^ 2 = A ( 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) колір (білий) (x ^ 2 / ((x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x +2)) Докладніше »

"Див. Пояснення" i "- це число з властивістю" i ^ 2 = -1. "Отже, якщо ви заповните" 5i ", ви отримаєте" (5 i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 "Так" 5 i "не вирішення." "Додавання і множення з" i "відбувається так само, як і з" "звичайними реальними числами, потрібно просто пам'ятати, що" i ^ 2 = -1. "Незвичайна потужність" i "не може бути перетворена в реальне число:" "(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. "Тоді залишається уявна одиниця" i ". Докладніше »

Нескінченний csc x = 1 / sin x 0.5 csc x = 0.5 / sin x будь-яке число, поділене на 0, дає невизначений результат, тому 0,5 над 0 завжди не визначено. функція g (x) буде невизначена при будь-яких значеннях x, для яких sin x = 0. від 0 ^ @ до 360 ^ @, значення x, де sin x = 0 дорівнює 0 ^ @, 180 ^ @ і 360 ^ @. альтернативно, у радіанах від 0 до 2pi значення x, де sin x = 0, дорівнюють 0, pi та 2pi. оскільки графік y = sin x є періодичним, значення, для яких sin x = 0, повторюють кожні 180 ^ @ або pi радіанів. отже, точки, для яких 1 / sin x і, отже, 0.5 / sin x не визначені, є 0 ^ @, 180 ^ @ і 360 ^ @ (0, pi і 2pi) в обмежен Докладніше »

Переписуючи біт, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Там будуть вертикальні асимптоти, коли знаменник стає 0, і cos2x стає нулем, коли 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi для всього цілого n, так що, ділячи на 2, Rightarrow x = {2n + 1 } / 4pi Отже, вертикальними асимптотами є x = {2n + 1} / 4pi для всіх цілих n. Я сподіваюся, що це було корисно. Докладніше »

Це еліпс. Наведене вище рівняння можна легко перетворити у форму еліпса (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1, оскільки коефіцієнти x ^ 2 andy ^ 2 обидва позитивні), де (h, k) є центром еліпса, а вісь - 2a і 2b, причому велика одна як велика вісь - інша менша вісь. Ми також можемо знайти вершини, додавши + -a до h (зберігаючи ординату ж) і + -b до k (зберігаючи абсцису таку ж). Ми можемо записати рівняння 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 як 16 (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = - 8 або 16 (x ^ 2-2 * 9 / 16x + (9/16) ^ 2) +25 (y ^ 2-2 * 2 / 5y + (2/5) ^ 2) = - 8 + 16 (9/16) ^ 2 + 25 ( 2/5) ^ 2 або 16 (x-9/16) ^ 2 + Докладніше »

Це коло. Заповніть квадрати, щоб знайти: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2+ (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Додайте 4 ^ 2 до обох кінців і перемістіть, щоб отримати: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2, що має форму: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 рівняння кола, центр (h, k) = (5, 1) і радіус r = 4 граф {(x ^ 2 + y ^ 2-10x) -2y + 10) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) = 0 [-6.59, 13.41, -3.68, 6.32]} Докладніше »

(3, 3) Поряд з точкою (5, 1) ці точки є вершинами квадрата, тому центр кола буде знаходитися в середині діагоналі між (1, 1) і (5, 5), тобто ((1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) Радіус - це відстань між (1, 1) і (3, 3), тобто: sqrt (( 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Отже, рівняння кола може бути записано: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8 graph {( (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-1) ) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0.01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0.01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ 100-2 ^ 100) (xy) (sqrt (17- (x + y-6) ^ 2) / sqrt (17- (x + y-6) ^ 2)) = 0 [-5.89, 9.916, -0. Докладніше »

Коло має центр i C = (4,5) і радіус r = 7. Щоб знайти координати центру і радіуса кола, потрібно перетворити його рівняння на форму: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 У наведеному прикладі ми можемо зробити це: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Нарешті: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 З цього рівняння отримаємо центр і радіус. Докладніше »

Яке цікаве питання! Чи плануєте ви наклеювати шпалери на гігантський баскетбол? Ну, формула SA = 4pir ^ 2 тільки у випадку, якщо ви хочете розрахувати її! Вікіпедія дає вам формулу, а також додаткову інформацію. Ви навіть можете скористатися цією формулою, щоб обчислити, наскільки велика площа поверхні Місяця! Переконайтеся, що виконуєте порядок виконання операцій: спочатку зробіть квадратний радіус, потім помножте його на 4pi, використовуючи калькулятор із збереженим приблизним значенням pi. Належним чином обведіть, а потім позначте відповідь у квадратних одиницях, залежно від того, яку одиницю довжини ви використовуєте д Докладніше »

| sin (x) | <= 1, "і" arctan (x) / x> = 0 "As" | sin (x) | <= 1 ", а" arctan (x) / x> = 0, "маємо" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) | = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(як arctan (x) / x, так і" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan (x) / (sqrt ( x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Докладніше »

Відповідь: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Стандартним рівнянням еліпса є: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Це еліпс з осередками (F_ (1,2)) на осі y, оскільки a <b. Отже, x_ (F_ (1,2)) = 0 ординати: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Отже: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Докладніше »

Цілі значення x дорівнюють 1,3,0,4 Дозволяє переписати це наступним чином x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2) ) Для того, щоб 2 / (x-2) бути цілим числом x-2, повинен бути один з дільників 2, які є + -1 і + -2 Отже, x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Отже, цілі числа x дорівнюють 1,3,0,4 Докладніше »

Якщо виникає питання: "У якій точці функція перехоплює вісь у?", Відповідь: в жодних точках. Це пояснюється тим, що, якщо ця точка існує, її x-координата повинна бути 0, але неможливо дати це значення x, оскільки 0 робить фракцію безглуздою (розділити на 0 неможливо). Якщо питання: "У яких точках функція перехоплює вісь x?", Відповідь: у всіх тих точках, у яких координата y дорівнює 0. Отже: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. Точки: (-7,0) і (7,0). Докладніше »

X = 7 і x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Припускаючи, що ви маєте на увазі комплексні корені рівняння: x ^ 3 = 343 Ми можемо знайти один реальний корінь, взявши третій корінь з обох сторін: корінь (3) (x ^ 3) = корінь (3) (343) x = 7 Ми знаємо, що (x-7) має бути фактором, оскільки x = 7 є коренем. Якщо все довести до однієї сторони, можна обчислити, використовуючи довге поділ полінома: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 Знаємо, коли (x-7) дорівнює нулю але залишилися коріння можна знайти, вирішивши, коли квадратичний фактор дорівнює нулю. Це можна зробити за допомогою квадратичної формули: x ^ 2 + 7x + 49 = 0 x = (- 7 + Докладніше »

Розгорніть квадрати, замініть y = rsin (тета) і x = rcos (тета), а потім вирішіть для r. З урахуванням: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Ось графік вищенаведеного рівняння: Перетворення в полярні координати. Розширити квадрати: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Перегрупувати за потужністю: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Об'єднати постійні терміни : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Замінити rcos (тета) для x та rsin (тета) для y: (rcos (тета)) ^ 2 - (rsin (тета)) ^ 2 -2 (rcos (тета)) - 10 (rsin (тета)) = 0 Дозволяє перемістити коефіцієнти r за межами (): (cos ^ 2 (тета) - sin ^ 2 (тета)) r ^ 2 - (2cos (тета) + Докладніше »

-4, 2 і 3. P (2) = 0. Отже, n-2 є фактором. Тепер P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Порівняння коефіцієнта n ^ 2 = k-2 з -3, k = -1. Так, P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). Отже, інші два нулі - -4 і 3. t Докладніше »

"Можливими" інтегральними нулями є: + -1, + -2, + -4 Насправді P (p) не має раціональних нулів. З урахуванням: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 За теоремою раціональних коренів будь-які раціональні нулі P (p) виражаються у вигляді p / q для цілих чисел p, q з pa дільник постійного члена -4 та qa дільник коефіцієнта 1 провідного терміна. Це означає, що єдиними можливими раціональними нулями (які також є цілими числами) є: + -1, + -2, + -4 На практиці ми виявляємо, що жоден з них не є фактично нулями, тому P (p) не має раціональних нулів. . Докладніше »

"Можливими" інтегральними нулями є + -1, + -2, + -4 Жодна з цих робіт, тому P (y) не має інтегральних нулів. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 За раціональною кореневою теоремою будь-які раціональні нулі P (x) виражаються у вигляді p / q для цілих чисел p, q з pa дільник постійного члена 4 і qa дільник коефіцієнта 1 провідного терміна. Це означає, що єдиними можливими раціональними нулями є можливі цілочисельні нулі: + -1, + -2, + -4 Пробуючи кожне з них, знаходимо: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 14 P (-1) = 1 + 5-7-21 + 4 = -18 P (2) = 16-40-28 + 42 + 4 = -6 P (-2) = 16 + 40-28-42 + 4 = -10 P (4) = 256-320-11 Докладніше »

Можливими цілочисельними коріннями, які слід спробувати, є 1, 15, 15, 15, 15. Уявімо собі, що іншим цілим числом може бути корінь. Ми вибираємо 2. Це неправильно. Ми збираємося зрозуміти, чому. Поліномом є z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Якщо z = 2, то всі члени є навіть тому, що вони кратні z, але тоді останній член повинен бути навіть для того, щоб зробити всю суму рівною нулю ... і -15 не є рівною. Отже, z = 2 виходить з ладу, тому що ділення не спрацьовує. Щоб отримати ділимість, щоб відпрацювати правильний цілочисельний корінь для z, має бути щось, що рівномірно ділиться на постійний член, який тут є -15. Пам'ята Докладніше »

Дискримінант квадратичної формули говорить про природу коренів, які має рівняння. b ^ 2 4ac = 0, одне реальне рішення b ^ 2 4ac> 0, два реальних розв'язку b ^ 2 4ac <0, два уявних рішення Якщо дискримінант є ідеальним квадратом, то коріння раціональні, інакше якщо не ідеальний квадрат, коріння нераціональні. Докладніше »

Для вирішення цієї проблеми можна використовувати метод p / q, де p - константа, а q - провідний коефіцієнт. Це дає нам + -12 / 1, що дає потенційні фактори + -1, + -2, + -3, + -4, + -6 і + -12. Тепер потрібно використовувати синтетичне поділ для поділу кубічної функції. Легше почати з + -1, а потім + -2 і так далі. При використанні синтетичного поділу ми повинні мати залишок 0 для того, щоб дивіденд був нулем. Використовуючи синтетичне поділ, щоб отримати наше рівняння на квадратичне, то за допомогою факторингу квадратичного, знаходимо коріння 2, -2 і 3. Докладніше »

Див. Пояснення ... Поліном у змінної x є сумою кінцевого числа членів, кожна з яких приймає вид a_kx ^ k для деякої константи a_k та неотрицательного цілого k. Таким чином, деякі приклади типових поліномів можуть бути: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Поліноміальна функція є цілою цією функцією, яка визначається поліномом. Наприклад: f (x) = x ^ 2 + 3x-4 g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Нуль полінома f (x) - це значення x, що f (x) ) = 0. Наприклад, x = -4 - нуль f (x) = x ^ 2 + 3x-4. Раціональним нулем є нуль, який також є раціональним числом, тобто він виражається у вигляді p / q для деяких цілих чисел p, q з q! = 0. Напр Докладніше »

X = -1 + -i "перевіряють значення" колірного (синього) "дискримінантного" "з" a = 1, b = 2, c = 2 Delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 " оскільки "дельта <0" рівняння не має реальних рішень "" вирішується за допомогою "колірного (синього)" квадратичного формули "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i "є рішеннями" Докладніше »

Ідентичність: f (x) = x Квадрат: f (x) = x ^ 2 Куб: f (x) = x ^ 3 Взаємний: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Квадратний корінь: f ( x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) Експоненціальна: f (x) = e ^ x Логарифмічна: f (x) = ln (x) Логістична: f (x) = 1 / (1 + e ^ (-x)) Синус: f (x) = sin (x) Косинус: f (x) = cos (x) Абсолютна величина: f (x) = abs (x) Ціле число Крок: f (x) = "int" (x) Докладніше »

R <1 / e - умова збіжності sum_ (n = 1) ^ or ^ ln (n) Я просто відповім на частину про збіжність, першу частину відповіли в коментарях. Ми можемо використовувати r ^ ln (n) = n ^ ln (r), щоб переписати суму sum_ (n = 1) ^ orn ln (n) у вигляді sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {для} p = -ln (r) Серія справа є серійною формою для знаменитої функції Римана. Добре відомо, що ця серія збігається при p> 1. Використовуючи цей результат безпосередньо дає -ln (r)> 1 мається на увазі ln (r) <- 1 випливає r <e ^ -1 = 1 / e Результат про функціях Рімана Зета дуже добре відомий, якщо в Докладніше »

Нерівність квадратична за формою. Крок 1: Ми вимагаємо нуль на одній стороні. Крок 2: Оскільки ліва сторона складається з постійного члена, середнього терміну і терміна, експонент якого є вдвічі більшим, ніж на середньому члені, це рівняння є квадратичним за формою. " Ми або оцінюємо це як квадратичну, або використовуємо квадратичну формулу. У цьому випадку ми можемо фактор. Так само, як y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2), тепер маємо x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2). Ми розглядаємо x ^ 3, як якщо б це була проста змінна, y. Якщо це більш корисно, ви можете замінити y = x ^ 3, потім вирішити для y, і, нарешті, Докладніше »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Розділити кожен член на 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Спростити (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 Основною віссю є вісь x, оскільки найбільший знаменник знаходиться під терміном x ^ 2. Координати вершин наступні ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+ -4, 0) (0, + - 2) Докладніше »

Я думаю, що щось не так з цим питанням, див. Нижче. Розширення вашого виразу дає frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1, тому (x + 6) ^ 2 = 4, тому x ^ 2 + 12x + 36 = 4, тому x ^ 2 + 12x + 32 = 0 Насправді це не є рівнянням того, що ви можете графікувати, оскільки графік являє собою відношення між значеннями x і значеннями y (або, однак, взагалі, відношення між незалежною змінною і залежною). У цьому випадку ми маємо тільки одну змінну, а рівняння дорівнює нулю. Найкраще, що ми можемо зробити в цьому випадку, це вирішити рівняння, тобто знайти значення x, які задовольняють рівняння. У цьому випадку розв'язками є x = -8 і x = -4. Докладніше »

Вершини (3,0), (-1,0), (1,3), (1, -3) Фокуси (1, sqrt5) і (1, -sqrt5) Переставимо рівняння, виконавши квадрати 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 Розділення на 36 (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Це рівняння еліпса з вертикальною великою віссю Порівнюючи це рівняння до (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Центр = (h, k) = (1,0) Вершини A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) Для обчислення вогнищ нам потрібен c = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = sqrt (9-4) = sqrt5 Фокуси F = (h) .k + c) = (1, Докладніше »

Перша спроба зробити це - спробувати вплинути на цю поліномію. Для теореми решти необхідно обчислити f (h) для всіх цілих чисел, що ділять 216. Якщо f (h) = 0 для числа h, то це нуль. Дільники: + -1, + - 2, ... Я спробував деякі з них, які не працювали, а інші були занадто великими. Отже, цю поліномію не можна факторизувати. Ми повинні спробувати іншим шляхом! Давайте спробуємо вивчити функцію. Домен (-оо, + оо), межі: lim_ (xrarr + -оо) f (x) = + - оо і так, не існує асимптот будь-якого типу (нахил, горизонталь або вертикаль). Похідна: y '= 35x ^ 6-1 і вивчимо знак: 35x ^ 6-1> = 0rArrx ^ 6> = 1 / 35rArr x <= Докладніше »

З log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) ми маємо (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (log_x) (y)) Фактор з загальною базою 13 слід за зміною базової формули, так що log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x), а ліва сторона дорівнює (log_3 (x)) (log_x (y)) Оскільки log_3 (x) = 1 / (log_x (3)) ліва сторона дорівнює log_x (y) / log_x (3), що є зміною бази для log_3 (y) Тепер, коли ми знаємо, що log_3 (y) = 2, перетворюємо в експоненціальну форму, так що y = 3 ^ 2 = 9. Докладніше »

Ви б почали діленням кожного терміну на 4, щоб закінчити з ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 Це рівняння для кола, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, де (h, k) - центр кола, r = радіус У нашій задачі (h, k) - це (0,0) і r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 є рівнянням кола з центром в (0,0) і радіусом 2. Докладніше »

У цій задачі ми будемо покладатися на завершення квадратного методу, щоб масажувати це рівняння в більш впізнаване рівняння. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 Давайте працювати з терміном x (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, потрібно додати 4 до обох сторін рівняння x ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Ідеальний квадратний тріном. Перепишемо рівняння: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 Давайте вирахувати 4 з y ^ 2 & y термінів (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 Давайте працювати з y терміном (2 / 2) ^ 2 = (1) ^ 2 = 1, ми повинні додати 1 до обох сторін рівняння Але пам'ятайте, що ми відклали 4 з Докладніше »

Це рівняння знаходиться в близькому стандарті від. Терміни повинні бути повторно замовлені. Сокира ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 Нам потрібні коефіцієнти A і C для визначення. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 Це коло. Докладніше »

Еліпс Якщо a, b і 2h - коефіцієнти членів у x ^ 2. y ^ 2і xy, тоді рівняння другого ступеня представляє en ellipse parabola або hyperbola згідно ab-h ^ 2>. = або <0. Тут, ab-h ^ 2 = 225> 0. Рівняння може бути реорганізовано як (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Центр C еліпса є (-2,1). Полуоси a = 5 і b = 3. Велика вісь x = -2 паралельна осі y. Ексцентриситет e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. Для фокусів S і S 'CS = CS' = ae = sqrt14. Фокуси: (-2, 1 + sqrt14) та (-2,1 -sqrt14) Докладніше »

Гіпербола. Коло (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Еліпси (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Парабола y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 гіпербола (x - h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Докладніше »

Для еліпсів a> = b (при a = b ми маємо коло) a являє собою половину довжини великої осі, а b - половину довжини другої осі. Це означає, що кінцеві точки великої осі еліпса є одиницями (горизонтально або вертикально) від центру (h, k), а кінцеві точки другої осі еліпса - b одиниць (вертикально або горизонтально) від центру. Вогнища еліпса також можуть бути отримані з a та b. Вогнища еліпса - це одиниці (вздовж великої осі) від центру еліпса, де f ^ 2 = a ^ 2 - b ^ 2 Приклад 1: x ^ 2/9 + y ^ 2/25 = 1 a = 5 b = 3 (h, k) = (0, 0) Оскільки a знаходиться під y, велика вісь є вертикальною. Отже, кінцевими точками великої осі є Докладніше »

Кінцева поведінка функції - поведінка графіка функції f (x), коли х наближається до позитивної нескінченності або негативної нескінченності. Кінцева поведінка функції - поведінка графіка функції f (x), коли х наближається до позитивної нескінченності або негативної нескінченності. Це визначається ступенем і провідним коефіцієнтом поліноміальної функції. Наприклад, у випадку y = f (x) = 1 / x, як x -> + - oo, f (x) -> 0. графік {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Але якщо y = f (x) = (3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) як x-> + -оо, y-> 3 графік {(3x ^ 2 + 5) / ((x + 2) (x + 7)) [-165.7, 154.3, -6, 12]} Докладніше »

Лінійна функція моделює пряму лінію, яка має постійний нахил або швидкість зміни. Існують різні форми лінійних рівнянь. Стандартна форма Ax + By = C, де A, B і C є дійсними числами. Форма перехоплення нахилу y = mx + b де m - нахил, b - форма ухилу точки перетину y (y-y_1) = m (x-x_1), де (x_1, y_1) - будь-яка точка на лінії, а m схил. Докладніше »

Відображення експоненційної функції на осі y = x Логарифми є зворотною експоненційної функції, тому для y = a ^ x функція журналу буде y = log_ax. Отже, функція журналу говорить вам, що потужність a повинна бути підвищена до, щоб отримати x. Графік lnx: графік {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Графік e ^ x: графік {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Докладніше »

"Це неможливо" "0 має бути в діапазоні." "Оскільки 0 знаходиться в діапазоні, а 0 - раціональне число, ми не можемо" "мати це." "Подумайте про це: функція повинна проходити поперек осі X, якщо" "функція не була б постійною всюди." Докладніше »

Vec {a} quad "і" quad vec {b} quad "буде ортогональним точно, коли:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad k = / 3. # "Нагадаємо, що для двох векторів:" qquad vec {a}, vec {b} qquad "у нас є:" qquad vec {a} quad "і" quad vec {b} qquad quad " wquad wquad vec {a} cdot en {b} = 0 "Таким чином:" qquad <-2, 3> quad "і" quad <-5, qquad qquad "є ортогональними" qquad qquad hArr qquad qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = qquad hArr qquad qquad qquad (-2) (-5) + (3) (k) = 0 qquad hArr qquad qquad qquad qquad qquad 10 + 3 k = 0 qquad Докладніше »

A = b = c Загальні терміни послідовності AP можуть бути представлені: sf ({a, a + d, a + 2d}) Нам говорять, що {a, b, c}, і зазначаємо, що якщо взяти більш високий термін і відняти його попередній термін ми отримуємо загальну різницю; таким чином c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] Загальні терміни послідовності GP можуть бути представлені: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Нам сказано, що {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2}, і зауважимо, що якщо взяти більш високий член і поділити його на попередній термін, то отримаємо загальний коефіцієнт, таким чином: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b / a (як a, b, c gt 0):. b ^ 2 = ac ..... [B] Підстав Докладніше »

"Див. Пояснення" z ^ 3 - 1 = 0 "- це рівняння, яке дає коріння" "одиниці. Таким чином, ми можемо застосувати" "теорію поліномів до висновку, що" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(ідентичності Ньютона) ). " "Якщо ви дійсно хочете розрахувати його і перевірити:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "OR" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Докладніше »

K = 1/3 З урахуванням f (x) = klog_2x і f ^ -1 (1) = 8 Ми знаємо, що якщо f ^ -1 (x) = y, то f (y) = x. Отже, у другому рівнянні це означає, що f (8) = 1 У нас є перше рівняння, тому підставляємо x = 8 і f (x) = 1, щоб отримати 1 = klog_2 (8). що робити звідси, щоб отримати відповідь вище. Підказка: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Докладніше »

Відповідь = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Ми знаємо, що p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3. .p ^ n = O Помножте обидві сторони на p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * O p ^ - 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = O p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p) ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Отже, p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Докладніше »

5 Нехай чотири вектори k_1, k_2, k_3 і k_4 складають основу векторного простору K. Оскільки K - підпростір V, ці чотири вектори утворюють лінійно незалежне безліч у V, оскільки L - підпростір V, відмінний від K , має бути принаймні один елемент, наприклад l_1 у L, який не знаходиться у K, тобто не є лінійною комбінацією k_1, k_2, k_3 та k_4. Отже, множина {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} є лінійним незалежним набором векторів у V. Таким чином, розмірність V становить принаймні 5! Насправді, простір {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} може бути у всьому векторному просторі V - так що мінімальне число базисних векторів має бути 5. Так само, Докладніше »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Докладніше »

(-6,4,3) Для додавання векторів ви просто додаєте відповідні компоненти окремо. А векторне віднімання визначається як A-B = A + (- B), де -B може бути визначено як скалярне множення кожного компонента з -1. Так у цьому випадку тоді -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Докладніше »

Визначальною є M + N = 69 і MXN = 200ko. Також необхідно визначити суму і добуток матриць. Але тут передбачається, що вони так само визначені у підручниках для матриці 2xx2. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Отже, її детермінант (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((- 1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((- 1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12) ), (10,8)] Отже, виходячи з MXN = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Докладніше »

Квадратичні функції мають графіки, які називаються параболами. Перший графік y = x ^ 2 має обидва "кінці" графіка вгору. Ви б описали це як рух до нескінченності. Ведучий коефіцієнт (множник на x ^ 2) є позитивним числом, яке змушує параболу відкриватися вгору. Порівняйте цю поведінку з такою другого графіка, f (x) = -x ^ 2. Обидва кінці цієї функції спрямовані вниз до негативної нескінченності. Цей коефіцієнт від'ємний. Тепер, коли ви бачите квадратичну функцію з позитивним коефіцієнтом свинцю, ви можете передбачити її кінцеву поведінку, коли обидва закінчуються. Ви можете написати: як x -> infty, y -> Докладніше »

-24883200 "Це визначає матрицю Вандермонда." "Відомо, що детермінант тоді є продуктом" "відмінностей базових чисел (що або взяті до послідовних" "потужностей)". "Отже, у нас є" (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) "= 24,883,200" "Є одна відмінність, хоча з матрицею Vandermonde" "і що найнижчі потужності є "" звичайно на лівій стороні матриці, так що стовпці "" дзеркально, це дає додатковий "" знак мінус результату: "" визначник = -24,883,200 " Докладніше »

Ви пишете шостий рядок трикутника Паскаля і робите відповідні заміни. > Трикутник Паскаля Чисел у п'ятому рядку - 1, 5, 10, 10, 5, 1. Вони є коефіцієнтами термів у поліномі п'ятого порядку. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Але наш поліном (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Докладніше »

Як пояснено нижче У статистиці, коли порівнюються дві змінні, негативна кореляція означає, що коли одна змінна збільшується, інша зменшується або навпаки. Ідеальна негативна кореляція представлена величиною -1.00, а 0.00 - відсутність кореляції, а +1.00 - ідеальна позитивна кореляція. Ідеальна негативна кореляція означає, що відношення, яке, як видається, існує між двома змінними, є негативним 100% часу. Докладніше »

Перш ніж почати інтерпретацію нашої гіперболи, ми хочемо спочатку встановити її в стандартній формі. Значення, ми хочемо, щоб воно було у формі y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1. Для цього ми починаємо з поділу обох сторін на 36, щоб отримати 1 з лівого боку. Як тільки це буде зроблено, ви повинні мати: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Після того як ви це зробите, ми можемо зробити кілька спостережень: Немає h і k Це ay ^ 2 / a ^ 2 гіперболи ( Це означає, що вона має вертикальну поперечну вісь.Тепер ми можемо почати знаходити деякі речі, я провідник про те, як знайти деякі речі, які більшість вчителів попросить вас знайти на тестах а Докладніше »

Будь ласка, дивіться пояснення нижче Загальне рівняння гіперболи є (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Тут рівняння (x-1) ^ 2/2 ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Центр C = (h, k) = (1, -2) Вершини A = (h + a, k) = (3, -2) і A '= (ha, k) = (- 1, -2) Вогнища F = (h) + c, k) = (1 + sqrt13, -2) і F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) Ексцентриситет e = c / a = sqrt13 / 2 graph {((x- 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14.24, 14.25, -7.12, 7.12]} Докладніше »

Досить багато! Тут ми маємо стандартне гіперболічне рівняння. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Центр знаходиться у (h, k) Напівпоперечна вісь a Половая спряжена вісь b Вершини графа (h + a, k) та (ha, k) Вогнищами графа є (h + a * e, k) і (ha * e, k) Напрямки графіка: x = h + a / e і x = h - a / e Ось зображення для допомоги. Докладніше »

Відповідно до теореми фактора: якщо x = a задовольняє многочлен P (x), тобто якщо x = a - корінь поліноміального рівняння P (x) = 0, то (x-a) буде коефіцієнтом полінома P (x) Докладніше »

Це означає, що якщо безперервна функція (на інтервалі A) приймає 2 відмінних значення f (a) і f (b) (a, b в A, звичайно), то вона буде приймати всі значення між f (a) і f (b). Для того, щоб запам'ятати або зрозуміти його краще, будь ласка, знайте, що математичний словник використовує багато зображень. Наприклад, ви прекрасно можете уявити зростаючу функцію! Це те ж саме, з проміжними ви можете уявити собі щось між 2 речами, якщо ви знаєте, що я маю на увазі. Не соромтеся ставити будь-які питання, якщо це не ясно! Докладніше »

12.5, 15, 17.5 Послідовність використовує послідовність, коли вона збільшується на 2,5 кожен раз. Для короткої відповіді, де ви тільки шукаєте наступні три терміни, ви можете просто додати її, або якщо вам потрібно знайти відповідь, наприклад, 135-е в послідовності, використовуючи рівняння: a_n = a_1 + (n- 1) d Так, це буде: a_n = 2.5 + (135-1) 2.5, що дорівнює кольору (синій) (337.5 Я сподіваюся, що допомагає! Докладніше »

Це лінійне рівняння. Лінійне рівняння - це представлення прямої лінії. Це конкретне рівняння називається формою перекриття схилу. M у формулі - нахил. B у формулі, де лінія перетинає вісь y, це називається y-переходом. Докладніше »

Квадратична формула використовує коефіцієнти квадратичного рівняння в стандартній формі, коли вона дорівнює нулю (y = 0). Квадратичне рівняння у стандартній формі виглядає так: y = ax ^ 2 + bx + c. Квадратична формула є x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), коли y = 0. Ось приклад того, як коефіцієнти квадратичного рівняння використовуються як змінні у квадратичній формулі : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Це означає, що a = 2, b = 5, c = 3. Отже, квадратична формула стає: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) (3) ))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 (2) (3))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 24)) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (1)) / (2 * Докладніше »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (ax) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) (ax) ^ rb ^ (nr) Отже, ми хочемо rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / (1 (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 ( -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 ( 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) (- 1) = - 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x ^ 11 Ц Докладніше »

Давайте спочатку зробимо це важким шляхом. Ви намагаєтеся знайти рішення для n! = 720 Це означає, що 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 Ви можете розділити всі наступні числа, доки в результаті ви не отримаєте 1: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360 360 // 3 = 120 т.п. GC (TI-83): MATH - PRB -! І спробуйте кілька цифр. Відповідь: 6 Докладніше »

Дивись нижче. Згідно факторної теореми, якщо (x-4) є фактором, то f (4) буде = 0, отже, f (x) = x ^ 2-3x-4 f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0, отже (х-4) є фактором. Докладніше »

Кінець поведінки кубічних функцій, або будь-яка функція з загальною непарною ступенем, йдуть в протилежних напрямках. Кубічні функції є функціями зі ступенем 3 (отже, кубічною), що є непарним. Лінійні функції і функції з непарними градусами мають протилежне поведінку кінця. Формат запису: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo Наприклад, для наведеного нижче зображення, коли x переходить в оо, значення y також зростає до нескінченності. Однак, коли х підходить до -оо, значення y продовжує зменшуватися; щоб перевірити поведінку кінця ліворуч, ви повинні переглянути графік справа наліво !! graph {x ^ 3 [-10 Докладніше »

Взагалі: Для експоненціальної функції, експонент якої має тенденцію до + - оо при x -> оо, функція має тенденцію до оо або 0 відповідно як x -> оо. Зауважимо, що це застосовується аналогічно для x -> - oo. Далі, коли експонент наближається до + -оо, хвилинні зміни в x (зазвичай) призводять до різких змін у значенні функції. Зауважимо, що зміни поведінки для функцій, де база експоненційної функції, тобто a в f (x) = a ^ x, така, що -1 <= a <= 1. Ті, що включають -1 <= a <0, будуть поводитися дивно (оскільки f (x) не буде приймати ніяких реальних значень, за винятком того, що x є цілим числом), тоді як 0 Докладніше »

TLDR: довга версія: Якщо показник функції потужності є негативним, у вас є дві можливості: експонент є навіть експонентом непарним Експонентом є парне: f (x) = x ^ (- n) де n є парним. Все, що має негативну силу, означає зворотну силу. Це стає f (x) = 1 / x ^ n. Тепер давайте подивимося, що відбувається з цією функцією, коли х є негативним (ліворуч від осі у) Знаменник стає позитивним, оскільки ви множите негативне число на рівну кількість часу. Чим менше (ліворуч), тим вищий знаменник. Чим вищий знаменник, тим менший результат (оскільки поділ на велике число дає невелике число, тобто 1/1000). Отже, ліворуч, значення функц Докладніше »

Є додаткові запитання, що стосуються графіків і рівнянь, але щоб отримати гарний ескіз графіка: Ви повинні знати, чи були осі повернуті. (Вам знадобиться тригонометрія, щоб отримати графік, якщо вони були.) Вам необхідно визначити тип або тип конічної секції. Потрібно поставити рівняння в стандартній формі для свого типу. (Ну, вам не потрібно "це", щоб граф щось на зразок y = x ^ 2-x, якщо ви погодиться на ескіз, заснований на тому, що це парабола, що відкривається вгору, з x-перехопленнями 0 і 1) Залежно від тип конічної, вам потрібна інша інформація в залежності від того, наскільки детально ви хочете, щоб ваш г Докладніше »

Якщо відомо рівняння гіперболи, тобто: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, ми можемо графікувати гіперболи таким чином: find центр C (x_c, y_c); складають прямокутник з центром на С і з боками 2а і 2b; намалюйте лінії, що проходять від протилежних вершин прямокутника (асимптоти); якщо знак 1 дорівнює +, то дві гілки ліворуч і праворуч від прямокутника і вершини знаходяться в середині вертикальних сторін, якщо знак 1 -, ніж дві гілки вгору і вниз з прямокутника вершини розташовані посередині горизонтальних сторін. Докладніше »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i Ми можемо зробити знаменник реальним, помноживши знаменник на його складне спряжене, таким чином: (7 + 6i) / (10 + i) = (7) + 6i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) "" = ((7 + 6i) (10-i)) / ((10 + i) (10-i)) " "= (70-7i + 60i-6i ^ 2) / (100 -10i + 10i-i ^ 2)" "= (70 + 53i +6) / (100 +1)" "= (76 + 53i) / (101) "" = 76/101 + 53 / 101i Докладніше »

Будь ласка, дивіться нижче Кардіоїдна крива - це деяка річ, подібна до фігури у формі серця (ось так прийшло слово «кардіо»). Це локус точки на окружності кола, що рухається по іншому колу без ковзання. Математично це задається полярним рівнянням r = a (1-costheta), іноді також записаним як r = 2a (1-costheta), воно з'являється, як показано нижче. Докладніше »

Існує декілька визначень безперервної функції, тому я даю вам декілька ... Дуже грубо кажучи, безперервна функція, граф якої можна намалювати, не піднімаючи ручку з паперу. Вона не має розривів (стрибків). Набагато більш формально: якщо A sube RR, то f (x): A-> RR є безперервним iff AA x в A, дельта в RR, дельта> 0, EE епсілон в RR, epsilon> 0: AA x_1 в (x - епсилон , x + epsilon) nn A, f (x_1) in (f (x) - дельта, f (x) + delta) Це скоріше рот, але в основному означає, що f (x) не раптово стрибає значення.Ось ще одне визначення: Якщо A і B є будь-якими множинами з визначенням відкритих підмножин, то f: A-> B є Докладніше »

Це послідовність чисел, які спускаються регулярним, лінійним способом. Прикладом є 10,9,8,7, ... що йде вниз на кожному кроці або кроці = -1. Але 1000, 950, 900, 850 ... також буде одним, тому що це знижується на 50 на кожному кроці, або крок = -50. Ці кроки називаються "загальною відмінністю". Правило: Арифметична послідовність має постійну різницю між двома кроками. Це може бути позитивним, або (у вашому випадку) негативним. Докладніше »

Переривчаста функція є функцією, що має принаймні одну точку, де вона не є неперервною. Це lim_ (x-> a) f (x) або не існує, або не дорівнює f (a). Прикладом функції з простим, знімним, розривом буде: z (x) = {(1, якщо x = 0), (0, якщо x! = 0):} Приклад патологічно переривчастої функції з RR до RR буде: r (x) = {(1, "якщо х раціонально"), (0, "якщо х ірраціонально"):} Це переривчастий в кожній точці. Розглянемо функцію q (x) = {(1, "x = 0"), (1 / q, "якщо x = p / q для цілих чисел p, q в найменших термінах"), (0, "якщо x є ірраціональний "): Тоді q (x) є неперервним на ко Докладніше »

Ліва межа означає границю функції при наближенні з лівої сторони. З іншого боку, обмеження правої руки означає межу функції, коли вона наближається з правого боку. При отриманні межі функції під час наближення до числа, ідея полягає в тому, щоб перевірити поведінку функції, коли вона наближається до числа. Ми підставляємо значення якомога ближче до наближеного числа. Найбільш близьким номером є підхід до самого номера. Отже, зазвичай просто замінює число, яке наближається, щоб отримати межу. Однак, ми не можемо цього зробити, якщо результуюче значення не визначено. Але ми все ще можемо перевірити свою поведінку, коли вона Докладніше »

Якщо ми маємо межу знизу, то це те ж саме, що і ліворуч (більш негативний). Ми можемо написати це так: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x), а не традиційний lim_ (x -> 0) f (x) Це означає, що ми розглядаємо тільки те, що відбувається, якщо ми почнемо з числа нижче нашого граничного значення і підходити до нього з цього напрямку. Це, як правило, цікавіше з функцією Piecewise. Уявіть функцію, яка визначається як y = x для x <0 і y = x + 1 для x> 0. Ми могли б уявити, що 0 є невеликий стрибок. Це має виглядати наступним чином: граф / (2x) + 1/2 + x [-3, 3, -2,5, 3,5] Межа як x-> 0 знизу явно 0, а згори явно 1. Це означає, щ Докладніше »

Логарифм бази b числа n є числом x, що коли b піднімається до xth потужності, результуюче значення має n log_b n = x <=> b ^ x = n Наприклад: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Докладніше »

Логістична функція є формою сигмоподібної функції, що зазвичай зустрічається при моделюванні приросту населення (див. Нижче). Ось графік типової логістичної функції: Графік починається з деякої базисної популяції і зростає майже експоненціально до тих пір, поки не почне наближатися до межі населення, що накладається його середовищем. Зауважимо, що логістичні моделі також використовуються в багатьох інших областях (наприклад, аналіз нейронних мереж і т.д.), але, напевно, найпростіше візуалізувати додаток для моделі зростання. Докладніше »

Арифметична послідовність є послідовністю (списком чисел), яка має спільну різницю (позитивну або негативну константу) між послідовними термінами. Ось кілька прикладів арифметичних послідовностей: 1.) 7, 14, 21, 28, тому що звичайна різниця становить 7. 2.) 48, 45, 42, 39, оскільки вона має загальну різницю - 3. Наступні не є прикладами арифметичні послідовності: 1.) 2,4,8,16 не тому, що різниця між першим і другим терміном дорівнює 2, але різниця між другим і третім терміном дорівнює 4, а різниця між третім і четвертим терміном дорівнює 8. Немає спільного. різниця, так що це не арифметична послідовність. 2.) 1, 4, 9, 16 н Докладніше »

Асимптота - це значення функції, до якої ви можете підійти дуже близько, але ніколи не можете досягти. Візьмемо функцію y = 1 / x graph {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Ви побачите, що чим більше ми робимо x, тим ближче y буде 0, але ніколи не буде 0 ( x-> oo) У цьому випадку лінія y = 0 (осі абсцис) називається асимптотою. З іншого боку, x не може бути 0 (ви не можете розділити на 0) Отже, лінія x = 0 (y-) вісь) - інша асимптота. Докладніше »

Рівні числа, непарні числа і т.д. Арифметична послідовність складається з додаванням постійного числа (називається різницею), слідуючи цьому методу a_1 є першим елементом арифметичної послідовності, a_2 буде за визначенням a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d, і так далі Приклад 1: 2,4,6,8,10,12, .... - арифметична послідовність, оскільки існує постійна різниця між двома послідовними елементами (в даному випадку 2) Приклад 2: 3,13 , 23,33,43,53, .... - арифметична послідовність, оскільки існує постійна різниця між двома послідовними елементами (в даному випадку 10). Приклад 3: 1, -2, -5, -8, ... це інша арифметична послідовність з Докладніше »

Припустимо, що ви маєте функцію, представлену f (x) = Ax ^ 2 + Bx + C. Ми можемо використовувати квадратичну формулу, щоб знайти нулі цієї функції, встановивши f (x) = Ax ^ 2 + Bx + C = Технічно ми можемо також знайти для нього складні корені, але, як правило, людині буде запропоновано працювати тільки з реальними коріннями. Квадратична формула представлена у вигляді: (-B + - sqrt (B ^ 2-4AC)) / (2A) = x ... де x являє собою x-координату нуля. Якщо B ^ 2 -4AC <0, ми будемо мати справу зі складними коріннями, а якщо B ^ 2 - 4AC> = 0, то будемо мати справжні корені. В якості прикладу розглянемо функцію x ^ 2 -13x + 12 Докладніше »

Експоненціальна функція використовується для моделювання співвідношення, в якому постійна зміна незалежної змінної дає однакову пропорційну зміну в залежній змінної. Функція часто записується як exp (x). Він широко використовується у фізиці, хімії, техніці, математичній біології, економіці та математиці. Докладніше »

Нерівність - це просто рівняння, де (як випливає з назви) у вас немає знака рівності. Скоріше, нерівності стосуються більш туманних більше / менше порівнянь. Дозвольте мені скористатися прикладом реального життя, щоб повідомити про це. Ви купуєте 300 курчат, які ви збираєтеся приготувати у вашому ресторані сьогодні на вечірку. Ваш супер-вуличний суперник Джо дивиться на вашу покупку і відповідає "tut tut, все ще набагато менше, ніж у мене є", і йде з усмішкою. Якби ми документували це математично, використовуючи нерівність, ми отримали б щось на зразок цього: Кури, у яких є <Чики Джо, пам'ятає крокодиловий Докладніше »